Gradiente di pressione (Lunghezza di Jeans)
Ho un problema.
Nel ricavare la lunghezza di Jeans (il raggio massimo che una nube può possedere senza collassare su sè stessa) si parte dalla disuguaglianza:
[tex]\rho g \ge \nabla P[/tex]
e nella dimostrazione (in tutte le dimostrazioni che ho trovato, in realtà) [tex]\nabla P[/tex] viene direttamente sostituito con [tex]nkT/R[/tex] senza troppe cerimonie.
Ma dalle leggi dei gas: [tex]PV = nkT[/tex], quindi [tex]P = nkT/V = nkt/R^3[/tex]
(tralasciamo i fattori di proporzionalità [tex]4/3 \pi[/tex] ecc..., sono interessato solo alle grandezze)
Ora, fare il gradiente in questo caso dovrebbe corrispondere ad una derivazione rispetto a [tex]R[/tex] il che mi dà [tex]\nabla P = nkT/R^4[/tex] (sempre tralasciando fattori di proporzionalità).
In sostanza in ogni dimostrazione: [tex]\nabla P = nkT/R[/tex]
Ma per me dovrebbe essere: [tex]\nabla P = nkT/R^4[/tex]
Dove sto sbagliando?
Nel ricavare la lunghezza di Jeans (il raggio massimo che una nube può possedere senza collassare su sè stessa) si parte dalla disuguaglianza:
[tex]\rho g \ge \nabla P[/tex]
e nella dimostrazione (in tutte le dimostrazioni che ho trovato, in realtà) [tex]\nabla P[/tex] viene direttamente sostituito con [tex]nkT/R[/tex] senza troppe cerimonie.
Ma dalle leggi dei gas: [tex]PV = nkT[/tex], quindi [tex]P = nkT/V = nkt/R^3[/tex]
(tralasciamo i fattori di proporzionalità [tex]4/3 \pi[/tex] ecc..., sono interessato solo alle grandezze)
Ora, fare il gradiente in questo caso dovrebbe corrispondere ad una derivazione rispetto a [tex]R[/tex] il che mi dà [tex]\nabla P = nkT/R^4[/tex] (sempre tralasciando fattori di proporzionalità).
In sostanza in ogni dimostrazione: [tex]\nabla P = nkT/R[/tex]
Ma per me dovrebbe essere: [tex]\nabla P = nkT/R^4[/tex]
Dove sto sbagliando?
Risposte
"Daaavde":
∇P viene direttamente sostituito con nkT/R
Sei sicuro?
Calcolo del gradiente a parte, quella sostituzione è sbagliata dimensionalmente, quindi è sbagliata a prescindere da qualsiasi altra considerazione, quindi mi sembra davvero strano che venga fatta addirittura in tutte le dimostrazioni che hai visto. Potresti citare il testo esatto di una delle dimostrazioni per controllare in dettaglio cosa viene fatto?
Ricontrollando, mi sono accorto di essermi sbagliato. A fare questa sostituzione sono solo gli appunti del professore.
Ma questa sostituzione, porta la dimostrazione ad un risultato che coincide con quelle del "The Exoplanet Handbook" di Perryman e il "Fundamental Astronomy" di Karttunen (che la dimostrano, correttamente, in un altro modo. Ma a me interessa questo).
Se nelle dimostrazioni del professore sostituisco il gradiente con [tex]nkT/R^3[/tex] ottengo una soluzione sbagliata (anche dimensionalmente). Penso che a questo punto sia veramente più semplice riportare la dimostrazione sbagliata:
[tex]\rho g \ge \nabla P[/tex]
sostituiamo l'accelerazione di gravità [tex]g = G \frac{M}{R^2}[/tex] e successivamente [tex]M = \rho R^3[/tex] (poi ci pensiamo ai [tex]\pi[/tex])
[tex]\rho G \frac{M}{R^2} \ge \nabla P \qquad \Rightarrow \qquad \rho^2 G \frac{R^3}{R^2} \ge \nabla P[/tex]
A questo punto facciamo la sostituzione del gradiente:
[tex]\rho^2 G R \ge \frac{nkT}{R^4}[/tex]
Ma [tex]n[/tex] è il numero di particelle per unità di volume, ossia [tex]n = \frac{\rho}{\mu}[/tex]
[tex]\rho^2 G R^5 \ge \frac{\rho k T}{\mu} \qquad \Rightarrow \qquad R^5 \ge \frac{kT}{G \rho \mu}[/tex]
e dunque infine: [tex]R \ge \sqrt[5]{\frac{kT}{G \rho \mu}}[/tex]
che oltre a essere diversa dai risultati postati nei libri è anche DIMENSIONALMENTE SBAGLIATA.
Ma intanto, l'unico modo di fare coincidere il risultato sarebbe di sostituire il gradiente con [tex]nkT/R[/tex] fin dall'inizio, che riporta il risultato corretto di: [tex]R \ge \sqrt{\frac{kT}{G \rho \mu}}[/tex]
Ma questa sostituzione, porta la dimostrazione ad un risultato che coincide con quelle del "The Exoplanet Handbook" di Perryman e il "Fundamental Astronomy" di Karttunen (che la dimostrano, correttamente, in un altro modo. Ma a me interessa questo).
Se nelle dimostrazioni del professore sostituisco il gradiente con [tex]nkT/R^3[/tex] ottengo una soluzione sbagliata (anche dimensionalmente). Penso che a questo punto sia veramente più semplice riportare la dimostrazione sbagliata:
[tex]\rho g \ge \nabla P[/tex]
sostituiamo l'accelerazione di gravità [tex]g = G \frac{M}{R^2}[/tex] e successivamente [tex]M = \rho R^3[/tex] (poi ci pensiamo ai [tex]\pi[/tex])
[tex]\rho G \frac{M}{R^2} \ge \nabla P \qquad \Rightarrow \qquad \rho^2 G \frac{R^3}{R^2} \ge \nabla P[/tex]
A questo punto facciamo la sostituzione del gradiente:
[tex]\rho^2 G R \ge \frac{nkT}{R^4}[/tex]
Ma [tex]n[/tex] è il numero di particelle per unità di volume, ossia [tex]n = \frac{\rho}{\mu}[/tex]
[tex]\rho^2 G R^5 \ge \frac{\rho k T}{\mu} \qquad \Rightarrow \qquad R^5 \ge \frac{kT}{G \rho \mu}[/tex]
e dunque infine: [tex]R \ge \sqrt[5]{\frac{kT}{G \rho \mu}}[/tex]
che oltre a essere diversa dai risultati postati nei libri è anche DIMENSIONALMENTE SBAGLIATA.
Ma intanto, l'unico modo di fare coincidere il risultato sarebbe di sostituire il gradiente con [tex]nkT/R[/tex] fin dall'inizio, che riporta il risultato corretto di: [tex]R \ge \sqrt{\frac{kT}{G \rho \mu}}[/tex]
"Daaavde":
Ma n è il numero di particelle per unità di volume, ossia $n=ρ/μ$
Ecco l'errore! L'equazione di stato dei gas scritta in termini della costante di Boltzmann è
$PV=NkT$
dove $N$ è il numero di particelle, non il numero di particelle per unità di volume (ed è anche per questo che si usa la N maiuscola invece che la minuscola, che di solito si usa per la densità volumetrica di particelle), e quindi
$N=\rho /\mu R^3$
Non ci posso credere, c'ero già cascato in una dimostrazione sulla diffusione in questo errore.
Dovrò scrivermi un appunto gigante da qualche parte.
Grazie mille, gentilissimo!
Dovrò scrivermi un appunto gigante da qualche parte.
Grazie mille, gentilissimo!
"Daaavde":
Dovrò scrivermi un appunto gigante da qualche parte
Ottimo metodo!
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