Gradi di libertà e parametri lagrangiani
Salve amici, ho questa struttura:
Praticamente ho l'asta OA (che tra l'altro, forma un angolo $ theta $ con l'asse verticale) incernierata in O e in A, mentre l'asta AB è incernierata in A ed ha un carrello in B.
In questo caso, avendo l'asta OA con due cerniere agli estremi, la posso considerare fissa? E quindi ho due gradi di libertà con parametri lagrangiani $ q_1(t)=phi(t) $ e $ q_2(t)=y_b $ , con $ phi $ angolo che forma l'asta AB con l'asse verticale?
Praticamente ho l'asta OA (che tra l'altro, forma un angolo $ theta $ con l'asse verticale) incernierata in O e in A, mentre l'asta AB è incernierata in A ed ha un carrello in B.
In questo caso, avendo l'asta OA con due cerniere agli estremi, la posso considerare fissa? E quindi ho due gradi di libertà con parametri lagrangiani $ q_1(t)=phi(t) $ e $ q_2(t)=y_b $ , con $ phi $ angolo che forma l'asta AB con l'asse verticale?
Risposte
MA scusa, fai i conti.
2 aste sono 6 GDL.
MENO
2 gdl per la cerniera in O
2 gdl per la cerneira in A
1 gdl carrello cernierato in B
Il sistema ha un GDL.
Ti basta l'angolo in O per descrivere tutto. oppure, in alternativa, la coordinata y in B. Questi sono i 2 parametri piu' convenienti
2 aste sono 6 GDL.
MENO
2 gdl per la cerniera in O
2 gdl per la cerneira in A
1 gdl carrello cernierato in B
Il sistema ha un GDL.
Ti basta l'angolo in O per descrivere tutto. oppure, in alternativa, la coordinata y in B. Questi sono i 2 parametri piu' convenienti
Bene così. Quindi l'asta OA non è fissa?
Decisamente no. E' tutto articolato.
Ti ringrazio, ma sorge un altro dubbio. In questo caso, considerando $ theta $ come angolo che forma O con la verticale, come determino la coordinata del baricentro dell'asta AB?
Eh, sara $y=3/2Lcos\theta$, visto che le aste sono uguali
"professorkappa":
Eh, sara $y=3/2Lcos\theta$, visto che le aste sono uguali
Perfetto, quindi $ y_B $ invece lo considero uguale a $2lcostheta $ ?
Si.
"professorkappa":
Si.
Ti ringrazio. Un'ultima domanda, quando vado a calcolarmi le reazioni vincolari, devo calcolarle per ogni corpo o per ogni vincolo?
Mi spiego meglio: per calcolarmi le reazioni devo mettere a sistema esse e tutte le forze attive agenti e i momenti scomponendoli lungo i tre assi.
Devo fare due sistemi, cioè uno per l'asta OA ed uno per l'asta AB, oppure tre sistemi, uno per il vincolo in O (la cerniera), uno per il vincolo in A (l'altra cerniera) ed uno per il vincolo in B (il carrello)?
Oltre a quella domanda sulle reazioni vincolari, volevo chiarire i miei dubbi sul calcolo dell'energia cinetica.
L'energia cinetica dell'asta AB è per il teorema di Konig, $ T_(AB)=1/2mv_G^2+1/2I_Gomega^2 $.
Sapendo che $ v_G^2=x'_G^2+y'_G^2=l^2/9cos^2theta*dottheta+l^2/9sen^2theta*dottheta=l^2/9dottheta $ trovo la prima parte, mentre per la seconda calcolo prima l'inerzia attraverso la definizione e successivamente applico il teorema di Huygens-Steiner: $ I_B=int_0^lm/ls^2sen^2thetads=(ml^2)/3sen^2theta $ e quindi $ I_G=I_B-m*d^2(G-B)=(ml^2)/3sen^2theta-ml^2/4sen^2theta=(ml^2)/12sen^2theta $ .
Dunque l'energia cinetica dell'asta AB risulterà: $ T_(AB)=l^2/18dottheta+(ml^2)/24sen^2theta*dottheta $.
Fin qui tutto apposto (o spero).
Il problema arriva quando vado a calcolare l'inerzia dell'asta AB, avente densità $ mu=(abs(AP)m)/l^2 $ e quindi massa $ m/2 $.
Applicando la definizione di inerzia, trovo $ I_A=int_0^lm/(2l^2)s*s^2sen^2thetads=(ml^2)/8sen^2theta $.
Il problema arriva dopo, quando devo trovarmi l'inerzia rispetto al baricentro, che risulta negativa, infatti: $ I_(G')=I_A-m/2*d^2(G'-A)= (ml^2)/8sen^2theta-m/2*4/9l^2sen^2theta=(9ml^2sen^2theta-16ml^2sen^2theta)/72=-7/72ml^2sen^2theta $.
Qual è il problema? Qual è l'energia cinetica dell'asta AB?
L'energia cinetica dell'asta AB è per il teorema di Konig, $ T_(AB)=1/2mv_G^2+1/2I_Gomega^2 $.
Sapendo che $ v_G^2=x'_G^2+y'_G^2=l^2/9cos^2theta*dottheta+l^2/9sen^2theta*dottheta=l^2/9dottheta $ trovo la prima parte, mentre per la seconda calcolo prima l'inerzia attraverso la definizione e successivamente applico il teorema di Huygens-Steiner: $ I_B=int_0^lm/ls^2sen^2thetads=(ml^2)/3sen^2theta $ e quindi $ I_G=I_B-m*d^2(G-B)=(ml^2)/3sen^2theta-ml^2/4sen^2theta=(ml^2)/12sen^2theta $ .
Dunque l'energia cinetica dell'asta AB risulterà: $ T_(AB)=l^2/18dottheta+(ml^2)/24sen^2theta*dottheta $.
Fin qui tutto apposto (o spero).
Il problema arriva quando vado a calcolare l'inerzia dell'asta AB, avente densità $ mu=(abs(AP)m)/l^2 $ e quindi massa $ m/2 $.
Applicando la definizione di inerzia, trovo $ I_A=int_0^lm/(2l^2)s*s^2sen^2thetads=(ml^2)/8sen^2theta $.
Il problema arriva dopo, quando devo trovarmi l'inerzia rispetto al baricentro, che risulta negativa, infatti: $ I_(G')=I_A-m/2*d^2(G'-A)= (ml^2)/8sen^2theta-m/2*4/9l^2sen^2theta=(9ml^2sen^2theta-16ml^2sen^2theta)/72=-7/72ml^2sen^2theta $.
Qual è il problema? Qual è l'energia cinetica dell'asta AB?
"Fraccio":
[quote="professorkappa"]Si.
Ti ringrazio. Un'ultima domanda, quando vado a calcolarmi le reazioni vincolari, devo calcolarle per ogni corpo o per ogni vincolo?
Mi spiego meglio: per calcolarmi le reazioni devo mettere a sistema esse e tutte le forze attive agenti e i momenti scomponendoli lungo i tre assi.
Devo fare due sistemi, cioè uno per l'asta OA ed uno per l'asta AB, oppure tre sistemi, uno per il vincolo in O (la cerniera), uno per il vincolo in A (l'altra cerniera) ed uno per il vincolo in B (il carrello)?[/quote]
Hai 3 reazioni vincolari. Ti servono 3 equazioni.
2 alla traslazione lungo x e y e una di momento rispetto a un polo dovrebbero bastare.
Bene, ma se volessi formulare le equazioni cardinali della statica, dovrei farlo per ogni vincolo o per ogni corpo? E invece cosa sbaglio durante il calcolo l'energia cinetica?
Ho provato ad impostare le equazioni sia per ogni corpo, che per ogni vincolo, ma risultano diverse. E per quanto riguarda l'energia cinetica esce sempre l'inerzia negativa. Come mai?
"Fraccio":
$I_G=I_B-m*d^2(G-B)=(ml^2)/3sen^2theta-ml^2/4sen^2theta=(ml^2)/12sen^2theta$
Come può il momento d'inerzia di un'asta rispetto al suo centro di massa dipendere da $\theta$?
È l'inclinazione rispetto alla guida verticale, non è corretto?
Anche questa tavola riporta il mio calcolo:
Anche questa tavola riporta il mio calcolo:
Credo di aver capito. Io non ho calcolato il momento di inerzia rispetto al baricentro (ovvero rispetto ad un punto), ma rispetto all'asse baricentrale. Avrei dovuto calcolarlo così:
$ I_(G')=int_(-l/2)^(l/2)m/ls^2ds=m/l(l^3/12)=(ml^2)/12 $, giusto?
Ma come posso applicare l'integrale all'altra asta se non è omogenea?
$ I_(G')=int_(-l/2)^(l/2)m/ls^2ds=m/l(l^3/12)=(ml^2)/12 $, giusto?
Ma come posso applicare l'integrale all'altra asta se non è omogenea?
Credo di esserci riuscito, il mio errore era banale. Mi usciva l'inerzia negativa perché dopo aver fatto l'integrale della densità per $ s^2 $ sostituivo ancora una volta la massa.
L'inerzia rispetto al baricentro dell'asta non omogenea AO dovrei calcolarmela così: $ I_A=int_0^lm/l^2s*s^2ds=m/l^2*l^4/4=(ml^2)/4 $ e quindi col teorema di Huygens-Steiner: $ I_G=I_A-m/2d^2(G-A)=(ml^2)/4-m/2*4/9l^2=(ml^2)/4-2/9ml^2=(9ml^2-8ml^2)/36=(ml^2)/36 $ .
Dunque gli errori che facevo riguardavano l'errato calcolo dell'inerzia rispetto ad un asse (e quindi inserivo il termine $sentheta$) e non rispetto ad un punto, e l'errata sostituzione della massa.
Invece per quanto riguarda le equazioni cardinali, le devo impostare per ogni corpo, quindi devo fare due sistemi (uno per l'asta OA e uno per l'asta AB) oppure devo impostarle per ogni vincolo e quindi devo fare tre sistemi (uno per la cerniera in O, uno per la cerniera in A, ed uno per il carrello in B)?
L'inerzia rispetto al baricentro dell'asta non omogenea AO dovrei calcolarmela così: $ I_A=int_0^lm/l^2s*s^2ds=m/l^2*l^4/4=(ml^2)/4 $ e quindi col teorema di Huygens-Steiner: $ I_G=I_A-m/2d^2(G-A)=(ml^2)/4-m/2*4/9l^2=(ml^2)/4-2/9ml^2=(9ml^2-8ml^2)/36=(ml^2)/36 $ .
Dunque gli errori che facevo riguardavano l'errato calcolo dell'inerzia rispetto ad un asse (e quindi inserivo il termine $sentheta$) e non rispetto ad un punto, e l'errata sostituzione della massa.
Invece per quanto riguarda le equazioni cardinali, le devo impostare per ogni corpo, quindi devo fare due sistemi (uno per l'asta OA e uno per l'asta AB) oppure devo impostarle per ogni vincolo e quindi devo fare tre sistemi (uno per la cerniera in O, uno per la cerniera in A, ed uno per il carrello in B)?
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