GR_(newtonian limit)

[baldo891]

Nel testo di RG di carrol nel primo paragrafo del quarto capitolo si parla del limite newtoniano.
l'autore scrive ad un certo punto:
The weakness of the gravitational field allows us to decompose the metric into the minkowski form plus a small perturbation:
$g_(\mu\nu)=\eta_(\mu\nu)+h_(\mu\nu)$
con $|h_(\mu\nu)|$ molto minore di 1.
che cosa significa che h deve essere molto minore di 1?
non stiamo parlando di un vettore ma di un tensore di rango (0,2), quindi non capisco che cosa è il modulo di un tensore
grazie

[Sk_Anonymous]

"baldo89":Nel testo di RG di carrol nel primo paragrafo del quarto capitolo si parla del limite newtoniano.
l'autore scrive ad un certo punto:
The weakness of the gravitational field allows us to decompose the metric into the minkowski form plus a small perturbation:
$g_(\mu\nu)=\eta_(\mu\nu)+h_(\mu\nu)$
con $|h_(\mu\nu)|$ molto minore di 1.
che cosa significa che h deve essere molto minore di 1?
non stiamo parlando di un vettore ma di un tensore di rango (0,2), quindi non capisco che cosa è il modulo di un tensore
grazie

Ho controllato sul testo di Bernard Schutz, dice praticamente la stessa cosa (traduco) :
"Eq. di Einstein per campi gravitazionali deboli
Sistemi di coordinate approssimativamente lorentziane.
Siccome l'assenza di gravità lascia lo spaziotempo "piatto", un campo gravitazionale debole è uno in cui lo spaziotempo è "quasi piatto". Questo è definito come una varietà su cui esistono coordinate in cui la metrica differisce da quella di Minkowski [ che come sai è:$\eta_(\mu\nu) = diag(-1,1,1,1)$ ] , di piccole quantità, quindi con componenti

$g_(\mu\nu)=\eta_(\mu\nu)+h_(\mu\nu)$

dove $|h_(\mu\nu)|$ e molto minore di 1 "

Il "molto minore di 1 in valore assoluto significa proprio quello che dice: siccome gli $\eta_(\mu\nu)$ hanno i valori numerici sopra detti, cioè in valore assoluto sono tutti uguali a $1$ , ecco che la "debolezza" del campo consiste in una lieve modifica di questi $1$ con un numero piccolo.

In realtà, come sai (o saprai!) questi coefficienti della metrica sono dei potenziali gravitazionali, resi adimensionali.
Infatti poi vedrai che la metrica del campo debole (limite newtoniano) si scrive :

$ds^2 = - (1+2\phi)dt^2 + (1-2\phi)(dx^2 + dy^2 + dz^2)$

dove si dimostra che $\phi$ , che poi va inteso diviso per $c^2$ ( e come vedi è adimensionale) non è altro che il potenziale gravitazionale newtoniano per campi lontani : $\phi = - M/r + 0(r^(-2)) $

(anche qui, devi intendere $M/r$ in unita geometrizzate, che lo rendono adimensionale.

Avrai di che divertirti, con questo $h$ !

Spero di aver chiarito : gli $h$ sono piccoli numeri che modificano i coefficienti di Minkowski. In realta sono modifche adimensionali dei potenziali.

[baldo891]

grazie,
sei molto chiaro come al solito