Giustificazione del principio di minima azione
Dal libro di Analisi ho studiato come ottenere rigorosamente le equazioni di Eulero-Lagrange ricercando il minimo di un certo funzionale. Questo funzionale ad esempio può essere l'azione. Ma da dove deriva l'azione? Se non avete voglia di scrivere potete consigliarmi un riferimento bibliografico preciso?
Risposte
Up.
A mia conoscenza non esiste una spiegazione convincente del principio di azione basata su termini od ipotesi più elementari. Didatticamente, e credo anche storicamente, si verifica che la deduzione delle equazioni di Euler-Lagrange è compatibile con la formulazione della dinamica di base del tipo $F=ma$. Discorsi sulla motivazione del principio li puoi trovare sul Landau-Lifsits o sul Goldstein. Sono un po' datati, ma ancora diffusi e mantengono una certa attenzione sul senso fisico, rispetto alla tendenza moderna di spostarsi sul formalismo matematico.
Precisamene a che pagina? Perché il Goldstein dice se non me sto invendando (...) che dal principio di minima azione si ricava quello di d'Alembert e viceversa, ma non ricordo che lo faccia esplicitamente. Il Landau-Lifšyc fa considerazioni analitiche ma non mi sembra dica il perché di tale principio. Su wiki c'è solo una digressione storica. Alla fine in tutto un libro si usa la Lagrangiana ricavata dall'azione e non si capisce da dove questa derivi. Boh?
In Fisica, un principio non può essere giustificato se non empiricamente. Quello che si può fare, invece, è sostituirlo con un altro principio che appare più "fondamentale".
Quindi se qualcuno me lo chiedesse dovrei rispondere che è un fatto noto sperimentalmente? O ad esempio che applicando il principio di D'Alembert ottengo lo stesso risultato che si otterrebbe minimizzando l'azione quindi posso utlteriormente giustificarlo? Tutto questo perché il principo è abbastanza oscuro. I principi della termodinamica ad esempio sono molto più assimilabili.
Cerca sul Feynman Lectures on Physics. C'è una lezione nel primo volume dedicata proprio al principio di minima azione. Viene spiegata, nei limiti del possibile, anche l'idea intutiva del concetto di azione e perché la Natura è propensa a minimizzarla. (Ripeto: nei limiti del possibile. Specialmente l'ultima considerazione non appartiene al campo della fisica ma della metafisica).
P.S.: Molto bello l'avatar!
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"5mrkv":
Quindi se qualcuno me lo chiedesse dovrei rispondere che è un fatto noto sperimentalmente?
Se cerchi di spiegare ad uno studente alle prime armi che, in un sistema isolato, la quantità di moto e il momento angolare si conservano sperimentalmente perchè vale il 3° principio della dinamica, probabilmente riuscirai nel tuo intento. Viceversa, se cerchi di spiegarlo dicendo che, valendo il principio dello spazio vuoto omogeneo ed isotropo, la Lagrangiana di un sistema isolato deve essere invariante per traslazioni e rotazioni spaziali, probabilmente non riuscirai. Quanto più un principio è fondamentale, tanto più sono necessarie solide basi teoriche per comprenderlo.
"5mrkv":
I principi della termodinamica ad esempio sono molto più assimilabili.
Questi, per esempio, non sono considerati principi fondamentali.
@speculor: mi auguro di riuscire a capirlo in qualche modo.
Grazie, mi sembrava adatto
"dissonance":Darò un'occhiata.
Cerca sul Feynman Lectures on Physics. C'è una lezione nel primo volume dedicata proprio al principio di minima azione. Viene spiegata, nei limiti del possibile, anche l'idea intutiva del concetto di azione e perché la Natura è propensa a minimizzarla. (Ripeto: nei limiti del possibile. Specialmente l'ultima considerazione non appartiene al campo della fisica ma della metafisica).
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Grazie, mi sembrava adatto
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