Giro della morte (con richiesta particolare)
Salve a tutti ho un esercizio sul giro della morte
Un corpo puntiforme di massa m può scorrere senza attrito sopra un binario composto da
un tratto rettilineo orizzontale, che copre un intervallo del semiasse x negativo, raccordato, nell’origine
degli assi, con un tratto semicircolare di raggio R = 0.5m giacente nel piano verticale xy (cfr. Figura 1).
Calcolare:
• la velocità minima v0 che il corpo deve possedere nel tratto rettilineo per raggiungere l’estremo più
alto del tratto semicircolare mantenendo il contatto con il binario
• l’altezza del punto di distacco dal binario se la velocità nel tratto rettilineo è pari a 0.84v0
• il punto dell’asse x in cui il corpo ricadrà se la velocità iniziale è quella del secondo quesito.
Svolti i primi due
1)$vo=sqrt(5gr)$ fatto con energia
2)$h=(rg+vo^2)/(3g)$
il terzo punto trovo delle difficoltà
nel momento in cui non c'è piu contatto con il binario come individuo la direzione e il modulo della velocità inziale?(avevo pensato al rapporto tra le due compoenenti della velocità nel momento del distacco e poi ad analizzare il tutto come un proiettile sparato con una certa velocità).Solo non riesco ad individuare queste due componenti.
Un corpo puntiforme di massa m può scorrere senza attrito sopra un binario composto da
un tratto rettilineo orizzontale, che copre un intervallo del semiasse x negativo, raccordato, nell’origine
degli assi, con un tratto semicircolare di raggio R = 0.5m giacente nel piano verticale xy (cfr. Figura 1).
Calcolare:
• la velocità minima v0 che il corpo deve possedere nel tratto rettilineo per raggiungere l’estremo più
alto del tratto semicircolare mantenendo il contatto con il binario
• l’altezza del punto di distacco dal binario se la velocità nel tratto rettilineo è pari a 0.84v0
• il punto dell’asse x in cui il corpo ricadrà se la velocità iniziale è quella del secondo quesito.
Svolti i primi due
1)$vo=sqrt(5gr)$ fatto con energia
2)$h=(rg+vo^2)/(3g)$
il terzo punto trovo delle difficoltà
nel momento in cui non c'è piu contatto con il binario come individuo la direzione e il modulo della velocità inziale?(avevo pensato al rapporto tra le due compoenenti della velocità nel momento del distacco e poi ad analizzare il tutto come un proiettile sparato con una certa velocità).Solo non riesco ad individuare queste due componenti.
Risposte
All'altezza $h$ corrisponde un certo punto $D$ sulla semicirconferenza, la cui equazione, se ho capito il disegno, è
$(y - R)^2 + x^2 = R^2$ [1]
Le coordinate di $D$ si trovano mettendo a sistema tale equazione con $y = h$
La velocità del corpo sulla circonferenza è sempre tangenziale, anche nel punto $D$ di distacco; calcolando la derivata di [1] in $D$ si trova la tangente dell'angolo formato dalla tangente alla circonferenza in $D$ con il semiasse positivo delle $x$, cioè proprio la direzione della velocità iniziale.
Noto il modulo di questa velocità (dalla conservazione dell'energia), con un pò di "accortezze" sui triangoli rettangoli puoi trovare le due componenti
$(y - R)^2 + x^2 = R^2$ [1]
Le coordinate di $D$ si trovano mettendo a sistema tale equazione con $y = h$
La velocità del corpo sulla circonferenza è sempre tangenziale, anche nel punto $D$ di distacco; calcolando la derivata di [1] in $D$ si trova la tangente dell'angolo formato dalla tangente alla circonferenza in $D$ con il semiasse positivo delle $x$, cioè proprio la direzione della velocità iniziale.
Noto il modulo di questa velocità (dalla conservazione dell'energia), con un pò di "accortezze" sui triangoli rettangoli puoi trovare le due componenti
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