Giro della morte con molla e vincoli unilaterali/bilaterali

[feddy]

Con questo esercizio vorrei chiarire alcuni dubbi riguardo vincoli uni/bilaterali. Cerco di riassumere quanto ho capito dal seguente post

Una particella di massa m = 0.2 kg si muove, partendo da ferma e da un’altezza h, scivola su un piano inclinato liscio fino a raggiungere una guida liscia che forma un anello di raggio $R = 1 m$ (giro della morte) e dopo aver percorso il giro della morte finisce per comprimere una molla di costante elastica $k= 200 N/m$ disposta lungo il piano orizzontale. Si calcoli:
a) il minimo valore di h per cui la particella arriva a comprimere la molla;
b) per tale valore di h, la massima compressione della molla;

Si discutano i due casi di vincolo unilaterale e bilaterale.

Dalla teoria so che se un vincolo è unilaterale, allora questo inibisce la quantità di moto dell'oggetto e gli consente di porsi su un piano o su un semipiano (tipo un tavolo).

Se è bilaterale, allora questo impedisce il movimento nei due semipiani, come può essere il caso di una guida circolare.

Sia $A$ il punto di rilascio, $B$ il punto più alto della circonferenze e $C$ il punto di compressione massima della molla.

[size=150]Caso vincolo bilaterale[/size]

(a)

Affinchè la particella compia il giro della morte e poi vada a comprimere la molla, deve essere che la velocità nel punto più alto sia $v_b \geq 0$.

Pertanto, tramite conservazione dell'energia meccanica tra $A$ e $B$ (agiscono solo forze conservative), si ha che

$[mgh = \frac{1}{2} m v_{b}^{2} + 2mgR]$

da cui ricavo

$v_{b}^{2}= 2g h - 4gR$

. Imponendo il secondo membro positivo trovo che deve essere almeno $h= 2R$.

(b) Con questo valore di $h$, impongo la conservazione dell'energia tra $B$ e $C$. Affinché la molla sia compressa, deve essere che la sue energia cinetica in quel momento sia nulla.
Per cui: $\frac{1}{2} m v_{b}^{2} +2 mgR = frac{1}{2} k \Delta x^{2}$

Sostituendo il valore di $v_{b}^{2}$ trovato prima: $\Delta_x = \sqrt(\frac{2mgh}{k})=\sqrt(\frac{4mgR}{k})$.

Ammesso che tutto quanto sia corretto, non riesco a capire come figurare la reazione vincolare di un vincolo bilaterale, visto che permette al corpo degli spostamenti.


[size=150]Caso vincolo unilaterale[/size]

(a) Nel caso di vincolo unilaterale procedo ugualmente con la conservazione dell'energia per trovare la velocità che il corpo deve avere in $B$, ed è ovviamente la stessa di prima.

La differenza sostanziale, stando a quanto letto nei due post, è che ora c'è da porre che la reazione vincolare che la guida esercita sulla massa sia positiva, in modo che la reazione della guida e la componente normale della forza peso si sommino per dare la necessaria forza centripeta.

Cioè deve essere $N + mg = m\frac{v_{c}^{2}}{R}$, da cui, imponendo $N >0$:

$[h> frac{5}{2} R]$

(b) analogamente a prima si ricava

$[\Delta_{x}= \sqrt(\frac{5 mg R}{k})]$

Noto che l'elongazione è maggiore di quella con un vincolo bilaterale. Il motivo dovrebbe essere perché ho dovuto imporre un'altezza di partenza più alta, e quindi la velocità di impatto con la molla sarà più elevata, da cui segue un allungamento maggiore.

[piovrik314]

Vedi l'allegato.
Nel caso di vincolo unilaterale devi calcolare la velocità nel punto più alto della guida circolare considerando nulla la reazione vincolare.
Nel caso di vincolo bilaterale devi calcolare l'altezza minima del punto di partenza della particella che consenta alla particella stessa di arrivare nel punto più alto della guida circolare con velocità nulla.

[feddy]

Grazie, i risultati numerici sono uguali ai miei, anche se per esempio per calcolare la compressione massima ho applicato la conservazione dell'energia dal punto più alto fino al punto di massima compressione. Mi pare che i due procedimento siano equivalmenti. Ti ringrazio !