Giro della morte
Mettiamo che il diametro del cerchio sia $h$. qual è la velocità minima che deve avere il corpo di massa $m$ per compiere il giro completo? (e come si ricava?)
Risposte
Ciao,
spero di non scrivere c...te ma credo si debba considerare la Conservazione dell'Energia Meccanica in un sistema isolato, per cui
$K_f + U_f = K_i + U_i$
considerando l'asse verticale con h nella posizione finale.
dove
$K_f$ è l'energia cinetica finale che dobbiamo calcolare
$U_f$ è l'energia gravitazionale potenziale finale (quando l'oggetto si trova all'altezza h)
$K_i$ è l'energia cinetica iniziale che è 0
$U_i$ è l'energia gravitazionale potenziale iniziale che è 0 coniderando il suolo come 0
per cui rimane:
$1/2mv_f^2 = mgh$
da cui si ricava poi $v_f$
spero di non scrivere c...te ma credo si debba considerare la Conservazione dell'Energia Meccanica in un sistema isolato, per cui
$K_f + U_f = K_i + U_i$
considerando l'asse verticale con h nella posizione finale.
dove
$K_f$ è l'energia cinetica finale che dobbiamo calcolare
$U_f$ è l'energia gravitazionale potenziale finale (quando l'oggetto si trova all'altezza h)
$K_i$ è l'energia cinetica iniziale che è 0
$U_i$ è l'energia gravitazionale potenziale iniziale che è 0 coniderando il suolo come 0
per cui rimane:
$1/2mv_f^2 = mgh$
da cui si ricava poi $v_f$
no, non è così semplice, entra in gioco anche una forza centrifuga...
entra in gioco anche una forza centrifuga...
Giusto, ma al punto massimo forza centrifuga e gravità non sono uguali?
Giusto, ma al punto massimo forza centrifuga e gravità non sono uguali?
Per compiere il giro della morte il corpo necessita in ogni istante di una forza centripeta diretta verso il centro del cerchio.
Il vincolo circolare è sempre disposto a fornire una forza $T$ in direzione radiale alla massa $m$ per favorire il moto circolare, quindi il problema non sorge per la mancanza di forza centripeta ma per l'eccesso.
Infatti quando il corpo è sopra la quota $h/2$ alla forza centripeta contribuisce positivamente anche il peso $mg$.
Poichè $T$ è maggiore o uguale a 0 e non puo correggere la componente peso diretta verso il centro quando quest'ultima è superiore alla forza centripeta necessaria, la velocità iniziale deve essere tale da evitare che il corpo abbandoni il percorso.
Prendiamo in considerazione il punto più in alto del vincolo circolare perchè se il corpo ha i prerequisiti per passare a questa altezza, allora passa tranquillamente per tutto il resto del circuito in quanto è proprio questo punto quello in cui la componente di $P$ diretta verso il centro è massima e nel frattempo anche la velocità è minima e quindi la forza centrifuga necessaria è minima.
Per la conservazione dell'energia nel punto più in alto si ha:
$v =\sqrt{ v_0^2 - 2gh }$
La forza centripeta necessaria:
$F = \frac{v^2 2m}{h}$
La forza effettiva in direzione radiale:
$F'=T + P$
Uguagliando $F$ e $F'$ e ricavando $v_0$ in funzione di tutto il resto:
$v_0 = \sqrt{2gh + \frac{h ( T + P)}{2m} }$
Il minimo si ha per $T=0$ e quindi:
$v_{0, min} = \sqrt{ \frac{5}{2} gh }$
Il vincolo circolare è sempre disposto a fornire una forza $T$ in direzione radiale alla massa $m$ per favorire il moto circolare, quindi il problema non sorge per la mancanza di forza centripeta ma per l'eccesso.
Infatti quando il corpo è sopra la quota $h/2$ alla forza centripeta contribuisce positivamente anche il peso $mg$.
Poichè $T$ è maggiore o uguale a 0 e non puo correggere la componente peso diretta verso il centro quando quest'ultima è superiore alla forza centripeta necessaria, la velocità iniziale deve essere tale da evitare che il corpo abbandoni il percorso.
Prendiamo in considerazione il punto più in alto del vincolo circolare perchè se il corpo ha i prerequisiti per passare a questa altezza, allora passa tranquillamente per tutto il resto del circuito in quanto è proprio questo punto quello in cui la componente di $P$ diretta verso il centro è massima e nel frattempo anche la velocità è minima e quindi la forza centrifuga necessaria è minima.
Per la conservazione dell'energia nel punto più in alto si ha:
$v =\sqrt{ v_0^2 - 2gh }$
La forza centripeta necessaria:
$F = \frac{v^2 2m}{h}$
La forza effettiva in direzione radiale:
$F'=T + P$
Uguagliando $F$ e $F'$ e ricavando $v_0$ in funzione di tutto il resto:
$v_0 = \sqrt{2gh + \frac{h ( T + P)}{2m} }$
Il minimo si ha per $T=0$ e quindi:
$v_{0, min} = \sqrt{ \frac{5}{2} gh }$
Effettivamente, mi sembrava un po' troppo semplice la mia idea... 
un altro modo che mi è venuto in mente:
impongo due cose:
_che l'energia cinetica del corpo sia necessaria per superare $h/2$ e cioè $(1/2)*m*v^2>m*g*(h/2)$
_che la derivata della parabola descritta dal corpo non sottoposto a vincoli una volta che superato $h/2$ sia maggiore della derivata della circonferenza per ogni $x in (-h/2,h/2)$
e cioè che $(-g*(x-h/2))/(v*cos(theta))^2+tan(theta)>=-x/sqrt((h/2)^2-x^2)$
se la velocità $v$ è tale da rispettare queste due condizioni allora la forza vincolare sarà sempre $>0$ e quindi il carello rimane attaccato alla circonferenza...
è corretto?
impongo due cose:
_che l'energia cinetica del corpo sia necessaria per superare $h/2$ e cioè $(1/2)*m*v^2>m*g*(h/2)$
_che la derivata della parabola descritta dal corpo non sottoposto a vincoli una volta che superato $h/2$ sia maggiore della derivata della circonferenza per ogni $x in (-h/2,h/2)$
e cioè che $(-g*(x-h/2))/(v*cos(theta))^2+tan(theta)>=-x/sqrt((h/2)^2-x^2)$
se la velocità $v$ è tale da rispettare queste due condizioni allora la forza vincolare sarà sempre $>0$ e quindi il carello rimane attaccato alla circonferenza...
è corretto?
"nato_pigro":
_che la derivata della parabola descritta dal corpo non sottoposto a vincoli una volta che superato $h/2$ sia maggiore della derivata della circonferenza per ogni $x in (-h/2,h/2)$
Perchè la derivata dovrebbe essere sempre maggiore? Forse intendevi che la stessa parabola debba essere maggiore, non la derivata, boh..
"naffin":
[quote="nato_pigro"]
_che la derivata della parabola descritta dal corpo non sottoposto a vincoli una volta che superato $h/2$ sia maggiore della derivata della circonferenza per ogni $x in (-h/2,h/2)$
Perchè la derivata dovrebbe essere sempre maggiore? Forse intendevi che la stessa parabola debba essere maggiore, non la derivata, boh..[/quote]
si, hai ragione, non so perchè ho pensato la derivata...
impongo che la parabola sia maggiore della circonferenza...
Beh, fai i calcoli e vedi che esce, secondo me puo andare
In cima la velocità deve essere tale che la accelerazione centripeta (che dipende solo da v e da r, ovvero da $\omega$ e da r) uguaglia la accelerazione dovuta alla gravità.
La coda in quell'istante è "molle": niente tensione.
PS: sono ricordi d'infanzia, non fidarti troppo.
La coda in quell'istante è "molle": niente tensione.
PS: sono ricordi d'infanzia, non fidarti troppo.
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