Giocatore di pallavolo esegue una battuta (moto parabolico della palla)

[peppegran94]

Salve ho provato a risolvere questo problema ma ho qualche dubbio sulla gittata
Il testo del problema recita così:

"Un giocatore di pallavolo esegue una battuta lanciando la palla in corrispondenza della linea di fondo campo da un'altezza $ h_1=2,30 m $ e con una velocità iniziale di modulo $ v_0 $ , la cui direzione forma un angolo $ alpha=45^o $ rispetto all'orizzontale. Sapendo che l'altezza massima delle rete è $ h_(rete)=2,43m $ dal suolo e che il campo ha una lunghezza complessiva $ 2d=18m $ , calcolare:

1) il valore minimo di $ v_0 $ necessario per permettere alla palla di oltrepassare la rete;

2) a quale distanza dalla rete cadrebbe la palla se venisse lanciata con tale velocità iniziale;

3)il valore massimo di $ v_0 $ che permette alla palla, una volta superata la rete, di ricadere entro il campo di gioco."

Allora io ho risolto nel modo seguente però voglio chiedervi se è corretto:

lungo $ x $ si ha: $ v_x=v_0cos vartheta $ e $ x=v_0cosvartheta t $
lungo $ y $ si ha: $ v_y=v_0sin vartheta $ e $ y=h_1+v_0sinvartheta t-1/2g t^2 $

Da $ v_y=v_0sin vartheta -g t $ ho posto $ v_y=0 $ ricavando $ t_(salita)=v_0sin vartheta /g $.
ho sostituito il tempo di salita nella legge oraria lungo $ y $ per ricavare la traiettoria che con i dati che ho sarà:
$ h_(rete)=h_1+v_0sinvartheta v_0*(v_0sinvartheta) /g)-1/2g*(v_0^2sin^2vartheta )/g^2 $ e semplificando si ottiene
$ h_(rete)=h_1+1/2(v_0^2sin^2vartheta )/g $ . dopodichè svolgendo i calcoli ho ricavato quella che è la velocità minima iniziale $ v_(0min)=sqrt((2g(h_(rete)-h_1))/(sin^2vartheta) ) $.
A quale distanza dalla rete cadrebbe la palla con questa velocità?
partendo dal disegno e dalle equazioni :


$ x=v_0cosvartheta t $ $ (2) $
$ v_x=v_0cos vartheta $
$ y=h_(rete)+v_0sinvartheta -1/2g t^ $ $ (1) $
lungo $ y $ adesso non c 'è più alcuna componente $ v_y $ della velocità iniziale $ v_0 $ e quindi la $ (1) $ diventa
$ y=h_(rete) -1/2g t^ $
Ricavando dalla $ (2) $ il tempo e sostituendolo nella $ (1) $ ottengo:
$ y(x)=h_(rete)-1/2gx^2/(v_0^2cos^2vartheta ) $ da cui imponendo $ y(x)=0 $ si ricava la $ x_(Git) $ di gittata
$ x_(Git)=sqrt((h_(rete)(2v_0^2cos^2vartheta))/g $

per il terzo quesito invece procedo in questo modo:



$ h_(rete)=h_1+v_0sinvartheta t-1/2g t^2 $
$ t=(2d)/(v_0cosvartheta) $ e quindi $ h_(rete)=h_1+v_0sinvartheta *((2d)/(v_0cosvartheta ))-1/2g *((2d)/(v_0cosvartheta))^2 $
e da qui, svolgendo i calcoli, mi sono ricavato la velocità iniziale massima
$ v_(0max)=sqrt((-2d^2)/((h_(rete)-h_1)cos^2vartheta -2dsinvartheta cosvartheta )) $
(ovviamente svolgendo i calcoli i segno negativo sotto radice scompare).

Vi chiedo se il procedimento è corretto, vi ringrazio in anticipo!