Getto libero, pressione rispetto alle linee di flusso
Salve,
Non ho chiare alcune cose di questo fenomeno:
Si suppone il flusso: perfetto, stazionario, e incomprimibile.
Le linee di flusso nella sezione d'uscita dal contenitore sono rettilinee (raggio di curvatura infinito).
Nei punto (1) e (3), la pressione statica dovrebbe essere quella atmosferica, quindi in termini di pressione relativa $p_1=p_3=0$.
Però, lungo la normale alle linee di flusso in corrispondenza della sezione d'uscita, vale la relazione $p+gammaz=cost$. Con $p$ pressione statica, $gamma$ peso specifico costante del fluido e $z$ coordinata verticale.
Questa equazione genera un assurdo, perchè se $p_1=p_3=0$ ne consegue che $z_1=z_3$. Come si spiega?
Non ho chiare alcune cose di questo fenomeno:
Si suppone il flusso: perfetto, stazionario, e incomprimibile.
Le linee di flusso nella sezione d'uscita dal contenitore sono rettilinee (raggio di curvatura infinito).
Nei punto (1) e (3), la pressione statica dovrebbe essere quella atmosferica, quindi in termini di pressione relativa $p_1=p_3=0$.
Però, lungo la normale alle linee di flusso in corrispondenza della sezione d'uscita, vale la relazione $p+gammaz=cost$. Con $p$ pressione statica, $gamma$ peso specifico costante del fluido e $z$ coordinata verticale.
Questa equazione genera un assurdo, perchè se $p_1=p_3=0$ ne consegue che $z_1=z_3$. Come si spiega?
Risposte
La contraddizione è solo apparente. Le condizioni del flusso sono quelle che hai detto: fluido perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente. Dopo la sezione di uscita, in generale, la vena fluida si contrae, specie se il foro è a spigoli vivi. Nella sezione contratta, i filetti fluidi sono paralleli, e le particelle che stanno sopra non premono su quelle che stanno sotto; la distribuzione delle pressioni nel senso perpendicolare al getto non è quella idrostatica come in un liquido in quiete in un serbatoio , ma piuttosto:
$ (dp)/(dz) =0 rarr p(z)=cost$
e siccome sul contorno della vena la costante è zero, $p=0$ in tutti i punti della sezione. Questo è stato anche verificato sperimentalmente. Devi immaginare le particelle di fluido come dei pallini, nessun pallino preme su quello di sotto. Ogni pallino fa la sua parabola balistica e cade senza dare fastidio agli altri.
$ (dp)/(dz) =0 rarr p(z)=cost$
e siccome sul contorno della vena la costante è zero, $p=0$ in tutti i punti della sezione. Questo è stato anche verificato sperimentalmente. Devi immaginare le particelle di fluido come dei pallini, nessun pallino preme su quello di sotto. Ogni pallino fa la sua parabola balistica e cade senza dare fastidio agli altri.
@AnalisiZero
La relazione che scrivi si applica a fluidi fermi, se il fluido è in moto in questo caso puoi applicare nella sezione di uscita Bernouilli prima all'uscita della linea di corrente più bassa e poi più alta, entrambe alla stessa pressione statica, e vedrai non c'è contraddizione.
La relazione che scrivi si applica a fluidi fermi, se il fluido è in moto in questo caso puoi applicare nella sezione di uscita Bernouilli prima all'uscita della linea di corrente più bassa e poi più alta, entrambe alla stessa pressione statica, e vedrai non c'è contraddizione.
"Shackle":
La contraddizione è solo apparente. Le condizioni del flusso sono quelle che hai detto: fluido perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente. Dopo la sezione di uscita, in generale, la vena fluida si contrae, specie se il foro è a spigoli vivi. Nella sezione contratta, i filetti fluidi sono paralleli, e le particelle che stanno sopra non premono su quelle che stanno sotto; la distribuzione delle pressioni nel senso perpendicolare al getto non è quella idrostatica come in un liquido in quiete in un serbatoio , ma piuttosto:
$ (dp)/(dz) =0 rarr p(z)=cost$
e siccome sul contorno della vena la costante è zero, $p=0$ in tutti i punti della sezione. Questo è stato anche verificato sperimentalmente. Devi immaginare le particelle di fluido come dei pallini, nessun pallino preme su quello di sotto. Ogni pallino fa la sua parabola balistica e cade senza dare fastidio agli altri.
"Faussone":
@AnalisiZero
La relazione che scrivi si applica a fluidi fermi, se il fluido è in moto in questo caso puoi applicare nella sezione di uscita Bernouilli prima all'uscita della linea di corrente più bassa e poi più alta, entrambe alla stessa pressione statica, e vedrai non c'è contraddizione.
Preciso che nello schema i bordi del foro sono pensati sagomati in modo che nella sezione d'uscita le linee di flusso siano rettilinee e parallele. Cioè i bordi non sono affilati e non si verifica in questo caso l'effetto vena contratta.
Bisogna considerare che su ogni particella nella sezione d'uscita, agisce la forza peso verticalmente verso il basso, che in corrispondenza della sezione d'uscita è la direzione della normale alle linee di flusso.
L'equazione che ho scritto non si applica solo ai fluidi fermi. La seconda legge di Newton $vecF=mveca$ viene applicata a una particella di fluido con le condizioni di flusso: stazionario, perfetto e incomprimibile. Si usa un sistema di coordinate curvilinee con direzioni tangente e normale alle linee di flusso. Proiettandola in direzione tangente si ottiene l'equazione di Bernoulli, in direzione normale si ottiene l'equazione dell'equilibrio radiale semplificata: $p+rhointV^2/Rdn+gammaz=cost$ lungo una normale alle linee di flusso.
$p$ è la pressione statica, $rho$ densità, $V$ modulo della velocità, $R$ raggio di curvatura della linea di flusso, $dn$ è la variazione della coordinata normale alle linee di flusso, $gamma$ è il peso specifico e $z$ la coordinata in direzione verticale.
Ho considerato che lungo la normale alle linee di flusso in corrispondenza della sezione d'uscita $R(n)=infty$ e quindi tra due punti qualunque della normale dovrebbe valere $p+gammaz=cost$.
(La normale che sto considerando è quel segmento verticale che unisce i punti 1, 2 e 3)
Riporto le pagine da 119 a 123 del testo di Idraulica di Citrini-Noseda, dove è trattato l’argomento :
ti conviene scaricarle e stamparle per leggere meglio.
ti conviene scaricarle e stamparle per leggere meglio.
"AnalisiZero":
.... in direzione normale si ottiene l'equazione dell'equilibrio radiale semplificata: $p+rhointV^2/Rdn+gammaz=cost$ lungo una normale alle linee di flusso
Non direi proprio. Quello sarebbe valido se il fluido fosse fermo e non accelerato, se è aperto in atmosfera non puoi scrivere l'equilibrio verticale in quel modo.
Nel testo a cui fa riferimento Shackle si dice esattamente quello infatti.
Poi non è vero che all'uscita il raggio di curvatura delle linee di corrente è infinito, visto che lì inizierà una traiettoria parabolica delle particelle fluide.
Ciò che c'è scritto in quelle pagine è molto chiaro e giustifica il fatto che la pressione sia atmosferica in tutta la sezione.
Ciò che ancora non capisco è dova possa aver sbagliato ad applicare l'equazione dell'equilibrio radiale semplificata, in un caso abbastanza semplice come quello dello schema del primo post.
In particolare in risposta a Faussone:
Riporto la pagina in cui l'equazione dell' equilibrio radiale semplificata viene usata con fluido in moto.
L'equazione 3.14 a cui si fa riferimento è proprio quella con l'integrale nello scorso post.
Comunque, inizio a pensare che questo testo confonda le idee, visto che c'è anche questo schema:
Vedendo questo schema sembra quasi che da un certo punto in poi le linee di flusso diventino rettilinee e il fluido non "cada" (lo schema è proprio orientato come si vede).
Ciò che ancora non capisco è dova possa aver sbagliato ad applicare l'equazione dell'equilibrio radiale semplificata, in un caso abbastanza semplice come quello dello schema del primo post.
In particolare in risposta a Faussone:
Riporto la pagina in cui l'equazione dell' equilibrio radiale semplificata viene usata con fluido in moto.
L'equazione 3.14 a cui si fa riferimento è proprio quella con l'integrale nello scorso post.
Comunque, inizio a pensare che questo testo confonda le idee, visto che c'è anche questo schema:
Vedendo questo schema sembra quasi che da un certo punto in poi le linee di flusso diventino rettilinee e il fluido non "cada" (lo schema è proprio orientato come si vede).
In queste ultime figure il caso è diverso, il foro è sul fondo e non su una parete, pertanto il flusso rimane dritto dopo l'uscita e, in direzione radiale, puoi imporre quella equazione di equilibrio.
Edit
Non avevo fatto caso alla ultima figura e agli spigoli sagomati...
Shackle ha spiegato dopo.
Edit
Non avevo fatto caso alla ultima figura e agli spigoli sagomati...
Shackle ha spiegato dopo.
Nella figura 3.13 il foro di uscita è a spigoli vivi , è c’è la sezione contratta (a,a) più a valle, dove i filetti fluidi sono paralleli . Nella sezione del foro invece, i filetti fluidi che passano radenti alla superficie, cioè per i punti 1 e 3, hanno una traiettoria curva, con raggio di curvatura che non può essere zero, ecco perche si verifica la sezione contratta piu a valle. Nei punti (1,2,3) la distribuzione delle pressioni non è come quella nella sezione contratta.
Ho trovato un altro testo, da cui estraggo questo :
Qui ora la situazione è piu chiara : nella sezione AA del foro a spigoli vivi la distribuzione delle pressioni non è come nella sezione contratta . È a questa che ci si deve riferire, quando si applica Bernoulli per trovare la velocita torricelliana.
Ho trovato un altro testo, da cui estraggo questo :
Qui ora la situazione è piu chiara : nella sezione AA del foro a spigoli vivi la distribuzione delle pressioni non è come nella sezione contratta . È a questa che ci si deve riferire, quando si applica Bernoulli per trovare la velocita torricelliana.
Diciamo che a questo punto il fenomeno è chiaro.
Evidentemente è sbagliato applicare l'equazione dell'equilibrio radiale in questo caso particolare.
Grazie
Evidentemente è sbagliato applicare l'equazione dell'equilibrio radiale in questo caso particolare.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo