Geometria delle masse

[Zyzzoy]

Ciao ragazzi sapete come si fa questo esercizio? I primi 2 li ho fatti, il terzo non so proprio come farlo visto che ci son di mezzo i momenti d inerzia deviatori nella soluzione

[Sk_Anonymous]

Come vedi nelle prime figure il centro di massa non si sposta, ma componendo quelle due sbarrette la matrice d'inerzia non sarà più diagonale. Devi usare il teorema degli assi paralleli e spostare le matrici, calcolate nel baricentro G delle sbarrette, in O.

[Zyzzoy]

cosa sarebbe il teorema degli assi paralleli?sul libro non lo trovo,nell esercizio prima ho applicato la proprietà distributiva del baricentro se non ricordo male . il baricentro di OA sta a distanza a da O, quello di AB a distanza b da B. Poi bisogna applicare quel teorema che non trovo?

[Zyzzoy]

ho visto ora cos è, qua si chiama teorema di Hugeins Steiner, ma andava applicato anche nei primi 2 casi?

[Sk_Anonymous]

Sì è anche noto come teorema di Steiner. Beh certo, puoi applicarlo sempre ma se non ti muovi dal centro di massa (che qui è semplicemente il baricentro essendo figure omogenee) tutti i termini aggiuntivi sono nulli e puoi semplicemente sommare le matrici delle varie figure calcolate nel rispettivo baricentro che condividono con la figura composta. Non so se mi sono spiegato.

[Zyzzoy]

Ho fatto un esercizio ora con un asta a T, quà ho messo l asse x e y che partono da dove si incontrano le aste, in questo caso mi viene, ma quà non ci son momenti d inerzia deviatori. In questo problema quì non saprei nemmeno come trovarlo il baricentro totale, so solo che il baricentro appartiene alla retta che unisce il centro di OA con il centro di BA.

[Zyzzoy]

Asse x coincidente con OA:
$
I11=m•(2b)^2/12+m•b^2=4/3mb^2 ok! $

Asse y coincidente con BA:
$
I22=m•(2a)^2/12+m•a^2=4/3 ma^2 no! $

[Sk_Anonymous]

Usa la formattazione giusta (usando il segno del dollaro prima e dopo le formule) altrimenti il cervello mi si rifiuta proprio di leggere e capire, oltre ad essere obbligatorio usarla.

Dopo di che ti consiglio di scrivere bene il teorema di Steiner ed identificare i singoli termini. Ad esempio prima calcolati la matrice dell'asta OA in O, questo è molto facile. Poi ci sommi la matrice nel baricentro dell'asta AB e ci sommi ancora la matrice dei termini di Steiner (fatti da quelli diagonali e misti) considerando che , rispetto al sistema di riferimento O, il baricentro dell'asta AB è posizionato in $(2a,b,0)$.

[Zyzzoy]

cosi non so come si faccia. Ho modificato sopra. La formula di Steiner mi dice che $ I=Ig+m*d^2 $

quindi $I11=I11_(oa)+I11_(ab) $
e $I22=I22_(oa)+I22_(ab) $

con assi xg e yg posizionati nel baricentro totale del sistema. (ora vado a mangiare dopo modifico questo messaggio e provo a vedere se si smuove qualcosa,magari con qualche teorema lo riesco a trovare il G totale).

[Sk_Anonymous]

Ma non ti serve il baricentro della figura, la richiesta è di calcolare a matrice in O. Il teorema di Steiner ti dice che

$(I_O)_(ij)=I_G+m(|r|^2 \delta_(ij) - x_i x_j)$ . Qui O è un polo generico e G il baricentro, i sistemi di riferimento siano ad assi paralleli ed il vettore r determini la distanza tra G ed O. Ti conviene spezzare il conto sulle due sbarrette e ti basta il baricentro di queste due che sono ovviamente i punti medi dei segmenti.

[Zyzzoy]

ah giusto! Mi ero perso il punto in cui chiedeva di calcolarla rispetto a un origine in O. Adesso dovrei riuscire a svolgerlo, mo ci provo.
-$I_G$ è il momento d inerzia baricentrico
-$m$ la massa del sistema
-$r$ la distanza tra i 2 assi paralleli
-$sigma_(ij)$ e$ x_i x_j$ non riesco a capire cosa siano. Più precisamente i,j non so cosa siano, intendi i versori degli assi? Se è cosi ho capito, noi li chiamiamo con i numeri.

[Sk_Anonymous]

Sono indici generici che rappresentano le componenti del vettore, o della matrice. La $\delta_(ij)$ è la delta di kroneker che vale 1 se gli indici sono uguali o 0 altrimenti. Quindi, ad esempio,

$(I_O)_(11)=(I_G)_(11)+m((x^2+y^2+z^2)*1-x^2)=(I_G)_(11)+m(y^2+z^2)$

$(I_O)_(12)=(I_G)_(12)+m((x^2+y^2+z^2)*0-xy)=(I_G)_(12)-mxy$

etc.

[Zyzzoy]

Quella simbologia mi è difficoltosa, io ho :

$ I_(11)=I_(11)'+I_(11)'' $
$ I_(22)=I_(22)'+I_(22)'' $

$ I_(11)'=m*(2b)^2/12+m*b^2 $
$ I_(11)''=0+0=0$

allora $ I_(11)=4/3*m*b^2$

poi $I_(22)'=m*a^2/3+m*a^2$
$ I_(22)''=0+m*4a^2$

quindi $I_(22)=16/3*m*a^2$

$I_(33)=I_(22)+I_(11) $

e fin quà ci siamo.

nei deviatori $Io_(12)=Ig_(12)-mxy $ non so come applicarla , come asse G cosa uso? x e y cosa rappresentano?

[Zyzzoy]

se xi e xj son le coordinate dell asse baricentrico rispetto all asse in O in $ I_(11); I_(22); I_(33) $ vale 0, mentre in $I_(12)=I_(21)$ vale $a*b$ ,in $I_(23)=I_(32)$ vale 0 (piano) , in $I_(13)=I_(31)$ vale 0 (piano)

[Sk_Anonymous]

Scusa proprio non riesco a seguire tutti questi passaggi che vuoi fare, è un calcolo che si fa in un rigo solo. Comunque mi pare che i termini diagonali li hai trovati e allo stesso modo trova quelli fuori diagonali se hai da scrivere $xy$ prendi la componente x del vettore e la moltiplichi per la componente y cosa c'è di strano? Quindi l'unico termine non nullo sarà giustamente $-m(2a)(b)$ che è il termine misto xy.

[Zyzzoy]

il termine $Ig_(12)$ viene nullo? nemmeno sul libro degli esercizi ho trovato il calcolo del momento d inerzia baricentrico con i e j diversi . Quindi $-m(2a)(b)$ perchè il baricentro di AB è $(2a,b,0)$ ? La componente di quale vettore? Io per Steiner ho usato il disegno per risolverlo nel trovare la distanza tra i 2 assi paralleli , per esempio in $I_(11)'$ la distanza è b da disegno, non avrei saputo applicare la $(y^2+z^2)$ dato che non ne ho capito il significato

[Sk_Anonymous]

"Zyzzoy":il termine $Ig_(12)$ viene nullo?

Certo che viene nullo, quella matrice è diagonale.

"Zyzzoy":
Quindi $-m(2a)(b)$ perchè il baricentro di AB è $(2a,b,0)$ ? La componente di quale vettore? Io per Steiner ho usato il disegno per risolverlo nel trovare la distanza tra i 2 assi paralleli , per esempio in $I_(11)'$ la distanza è b da disegno, non avrei saputo applicare la $(y^2+z^2)$ dato che non ne ho capito il significato

Come di quale vettore? Di quello che hai scritto tu stesso e che ti avevo scritto io il vettore che ha componente $x=2a,y=b,z=0$ basta sostituire. Comunque faccio il calcolo come si dovrebbe fare. La matrice di un segmento rispetto ad un estremo si trova al volo ma diciamo pure di non conoscerla, faccio tutti i passaggi. Noi conosciamo le matrici di inerzia di un'asta rispetto al proprio baricentro. Chiamo l'asta OA "asta A" e l'asta AB "asta B". Abbiano le aste lunghezza generica $L$ e massa m.

$(I_A)_G=mL^2/12((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=m(2a)^2/12((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=ma^2/3((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$

$(I_B)_G=mL^2/12((1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))=mb^2/3((1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$

I vettori che determinano la distanza tra $O$ ed i baricentri sono $v_A=(a,0,0)$ e $v_B=(2a,b,0)$

Chiamo $I_A^S$ la matrice dei termini di Steiner relativi all'asta A (e idem per B) . I termini si calcolano come ti ho già scritto, basta usare le giuste componenti dei due vettori.

$I_A^S=m((0,0,0),(0,a^2,0),(0,0,a^2))$ e $I_B^S=m((b^2,-2ab,0),(-2ab,4a^2,0),(0,0,4a^2+b^2))$

Ed ora, semplicemente, sommiamo tutto.

$I_O=[(I_A)_G+I_A^S]+[(I_B)_G+I_B^S]=m((4/3b^2,-2ab,0),(-2ab,16/3a^2,0),(0,0,4/3(4a^2+b^2)))$ .

Se avessimo usato direttamente la matrice d'inerzia di un'asta rispetto ad un estremo ci saremmo risparmiati qualcosina. Ripeto, questo conto lo fai in un rigo, scrivendo la somma delle matrici e mettendo le giuste componenti. Però deve esseri chiaro il significato del teorema che vai ad applicare.

[Zyzzoy]

Grande! Grazie mille ora ho capito come fare! questo metodo delle matrici è facile, sul mio libro degli esercizi non c'era. Ho capito cosa sono x,y,z e tutto. Ora provo a fare anche gli altri esercizi con sto metodo, grazie