Generalità sulla conservatività
In un campo conservativo, il lavoro di una forza agente su di un punto materiale non dipende dalla curva che congiunge posizione iniziale e finale del punto, ma solo dalle due posizioni. Per questo motivo, tale lavoro è esprimibile come differenza tra i valori assunti da una funzione $ f(P) $ nel punto finale ed iniziale: $ W_(A->B)=f(B)-f(A) $ . All'opposto della funzione $f(P)$ si dà il nome di energia potenziale e la si indica con $U$. Quindi $ W_(A->B)=U(A)-U(B) $. Prendiamo un esempio specifico:
Il lavoro elementare $dW$ compiuto dal campo elettrostatico generato da una carica puntiforme $Q$, in corrispondenza di uno spostamento infinitesimo $d\vecr$ di una carica puntiforme $q_0$ vale:
$ dW=q_0\vecE.d\vecr=q_0(\frac{Q}{4\pi\epsi_0r^2}\hat\mu_r).(dr\hat\mu_r+rd\theta\hatmu_\theta)=\frac{Qq_0dr}{4\pi\epsi_0r^2} $ se $\vecE$ e $d\vecr$ formano un angolo minore di $\pi/2$
$ dW=q_0\vecE.d\vecr=q_0(\frac{Q}{4\pi\epsi_0r^2}\hat\mu_r).(-dr\hat\mu_r+rd\theta\hatmu_\theta)=-\frac{Qq_0dr}{4\pi\epsi_0r^2} $ se $\vecE$ e $d\vecr$ formano un angolo maggiore di $\pi/2$
Se $q_0$ spostandosi su un curva $\gamma$ si porta dal punto $A$ al punto $B$:
$W_(A->B)=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2}=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B))$ nel primo caso e
$ W_(A->B)=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2}=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B))=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A)) $ nel secondo!
Riprendendo la relazione $ W_(A->B)=U(A)-U(B) $ otterei:
$U(P)=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\frac{1}{r_P}+cost$ nel primo caso e
$U(P)=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\frac{1}{r_P}+cost$ nel secondo.
1)E' per convenzione che si sceglie la prima definizione di $U$ e non la seconda (quella con il segno meno)?
2) Perchè si sceglie l'opposto della funzione $f(P)$ per definire $U$ e non $f(P)$ stessa?
Il lavoro elementare $dW$ compiuto dal campo elettrostatico generato da una carica puntiforme $Q$, in corrispondenza di uno spostamento infinitesimo $d\vecr$ di una carica puntiforme $q_0$ vale:
$ dW=q_0\vecE.d\vecr=q_0(\frac{Q}{4\pi\epsi_0r^2}\hat\mu_r).(dr\hat\mu_r+rd\theta\hatmu_\theta)=\frac{Qq_0dr}{4\pi\epsi_0r^2} $ se $\vecE$ e $d\vecr$ formano un angolo minore di $\pi/2$
$ dW=q_0\vecE.d\vecr=q_0(\frac{Q}{4\pi\epsi_0r^2}\hat\mu_r).(-dr\hat\mu_r+rd\theta\hatmu_\theta)=-\frac{Qq_0dr}{4\pi\epsi_0r^2} $ se $\vecE$ e $d\vecr$ formano un angolo maggiore di $\pi/2$
Se $q_0$ spostandosi su un curva $\gamma$ si porta dal punto $A$ al punto $B$:
$W_(A->B)=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2}=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B))$ nel primo caso e
$ W_(A->B)=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2}=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B))=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A)) $ nel secondo!
Riprendendo la relazione $ W_(A->B)=U(A)-U(B) $ otterei:
$U(P)=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\frac{1}{r_P}+cost$ nel primo caso e
$U(P)=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\frac{1}{r_P}+cost$ nel secondo.
1)E' per convenzione che si sceglie la prima definizione di $U$ e non la seconda (quella con il segno meno)?
2) Perchè si sceglie l'opposto della funzione $f(P)$ per definire $U$ e non $f(P)$ stessa?
Risposte
1. Si. Per convenzione il lavoro fatto dalle forze del campo su una carica positiva per portarla da un punto A a un punto B piu distante è positivo. scegliendo il segno meno, le carice positive si spostano da punti a potenziale piu alto a punti a potenziale piu basso per convenzione.
2. Perche usando l'opposto del potenziale la conservazio e dell energia si esprime come energia meccanica, intesa come somma di energia cinetica e energia potenziale. Se non usassi l'opposto verrebbe una differenza che intuitivamente non avrebbe senso
2. Perche usando l'opposto del potenziale la conservazio e dell energia si esprime come energia meccanica, intesa come somma di energia cinetica e energia potenziale. Se non usassi l'opposto verrebbe una differenza che intuitivamente non avrebbe senso
La seconda risposta mi è chiara e l'ho compresa! Sulla prima ho ancora perplessità. Definendo $U(P)=\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\frac{1}{r_P}+cost$ possiamo distinguere 2 casi:
1)$Q>0,q_0>0$ o $Q<0,q_0<0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è positivo se $q_0$ si allontana e negativo se si avvicina.
2)$Q>0,q_0<0$ o $Q<0,q_0>0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è negativo se $q_0$ si allontana e positivo se si avvicina. Entrambi i casi hanno "senso fisico"!
Definendo $U(P)=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\frac{1}{r_P}+cost$ e ripetendo il ragionamento:
1)$Q>0,q_0>0$ o $Q<0,q_0<0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=-\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è negativo se $q_0$ si allontana e positivo se si avvicina.
2)$Q>0,q_0<0$ o $Q<0,q_0>0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=-\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è positivo se $q_0$ si allontana e negativo se si avvicina. Entrambi i casi stavolta non descrivono la realtà fisica. Mi ritroverei con gli stessi risultati di prima se non definissi l'energia potenziale come l'opposto di $f(P)$ ma proprio uguale a $f(P)$.
Il modo per risolvere tutti questi problemi sarebbe considerare, nella dimostrazione dell'indipendenza del lavoro dalla curva $\gamma$, uno spostamento infinitesimo con componente positiva lungo il versore radiale! Credevo però di raggiungere consistenza nei risultati anche prescindendo dalla componenti dei vettori ma non riesco a trovare un modo.
1)$Q>0,q_0>0$ o $Q<0,q_0<0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è positivo se $q_0$ si allontana e negativo se si avvicina.
2)$Q>0,q_0<0$ o $Q<0,q_0>0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è negativo se $q_0$ si allontana e positivo se si avvicina. Entrambi i casi hanno "senso fisico"!
Definendo $U(P)=-\frac{Qq_0}{4\pi\epsi_0}\frac{1}{r_P}+cost$ e ripetendo il ragionamento:
1)$Q>0,q_0>0$ o $Q<0,q_0<0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=-\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è negativo se $q_0$ si allontana e positivo se si avvicina.
2)$Q>0,q_0<0$ o $Q<0,q_0>0$ implica che $ W_(A->B)=U(A)-U(B)=-\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_o}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}) $ è positivo se $q_0$ si allontana e negativo se si avvicina. Entrambi i casi stavolta non descrivono la realtà fisica. Mi ritroverei con gli stessi risultati di prima se non definissi l'energia potenziale come l'opposto di $f(P)$ ma proprio uguale a $f(P)$.
Il modo per risolvere tutti questi problemi sarebbe considerare, nella dimostrazione dell'indipendenza del lavoro dalla curva $\gamma$, uno spostamento infinitesimo con componente positiva lungo il versore radiale! Credevo però di raggiungere consistenza nei risultati anche prescindendo dalla componenti dei vettori ma non riesco a trovare un modo.
Forse ho risolto! Se invece di focalizzarmi su uno spostamento infinitesimo in particolare, differenziassi il vettore $\vecr=r\hat\mu_r$, otterrei $d\vecr=dr\hat\mu_r+rd\hat\mu_r=dr\hat\mu_r+rd\theta\hat\mu_\theta$. Questo risultato è il più generale possibile ed implica $ dW=\frac{Qq_o}{4\pi\epsi_0}\frac{dr}{r^2} $ dove il segno dipende dal segno delle cariche e dalla variazione di $r$. E' giusto? Come posso far vedere che $rd\hat\mu_r=rd\theta\hat\mu_\theta$?
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