Gauge di Lorenz ed eq. di Maxwell
Ciao, amici! Il mio libro, la Fisica del Gettys, dice che la scelta di gauge di Lorentz usa il potenziale vettore $$\mathbf{A}(\mathbf{x},t):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d^3y $$e il potenziale elettrico $$V(\mathbf{x},t):=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d^3y .$$
Come si può provare che valgono per tale espressione le equazioni di Maxwell come $$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0$$ $$\oint_{\partial^+\Sigma} \nabla V\cdot d\mathbf{x}=\frac{d}{dt}\int_{\Sigma} (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S}$$ $$\int_{\partial^+ \Sigma}(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{x}=\mu_0\int_{\Sigma} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}-\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}\nabla V\cdot d\mathbf{S}$$di cui conosco dimostrazioni per il solo caso statico?
Inoltre il mio testo dice che per tale $\mathbf{A}$ vale $$\nabla^2\mathbf{A}(\mathbf{x},t)-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=-\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x},t)$$che di nuovo non saprei come si dimostri...
$\infty$ grazie a tutti!
Come si può provare che valgono per tale espressione le equazioni di Maxwell come $$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0$$ $$\oint_{\partial^+\Sigma} \nabla V\cdot d\mathbf{x}=\frac{d}{dt}\int_{\Sigma} (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S}$$ $$\int_{\partial^+ \Sigma}(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{x}=\mu_0\int_{\Sigma} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}-\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}\nabla V\cdot d\mathbf{S}$$di cui conosco dimostrazioni per il solo caso statico?
Inoltre il mio testo dice che per tale $\mathbf{A}$ vale $$\nabla^2\mathbf{A}(\mathbf{x},t)-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=-\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x},t)$$che di nuovo non saprei come si dimostri...
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Ciao !
Rapidamente ed evitando di scrivere i vettori ,
si può ricavare l'equazione delle onde non omogenea per il potenziale vettore nelle condizioni di Lorentz in questo modo:
le equazioni di Maxwell in termini di potenziale vettore e scalare danno luogo alle equazioni accoppiate
$ grad^2phi+(partial)/(partial t) (grad\cdot A)=-rho/epsilon_0 $
$ grad^2A-1/c^2(partial^2A)/(partial^2 t) -grad(grad\cdot A+1/c^2(partialphi)/(partial t)
)=-mu_0j $
che disaccoppio proprio nelle condizioni di Lorentz $grad\cdot A+1/c^2(partialphi)/(partial t)=0 $
$ { ( grad^2phi-1/c^2(partial^2 phi)/(partial t^2)=-rho/epsilon_0 ),( grad^2A-1/c^2(partial^2 A)/(partial t^2)=-mu_oj ):} $
Rapidamente ed evitando di scrivere i vettori ,
si può ricavare l'equazione delle onde non omogenea per il potenziale vettore nelle condizioni di Lorentz in questo modo:
le equazioni di Maxwell in termini di potenziale vettore e scalare danno luogo alle equazioni accoppiate
$ grad^2phi+(partial)/(partial t) (grad\cdot A)=-rho/epsilon_0 $
$ grad^2A-1/c^2(partial^2A)/(partial^2 t) -grad(grad\cdot A+1/c^2(partialphi)/(partial t)
)=-mu_0j $
che disaccoppio proprio nelle condizioni di Lorentz $grad\cdot A+1/c^2(partialphi)/(partial t)=0 $
$ { ( grad^2phi-1/c^2(partial^2 phi)/(partial t^2)=-rho/epsilon_0 ),( grad^2A-1/c^2(partial^2 A)/(partial t^2)=-mu_oj ):} $
Grazie per la risposta, Light!!! Perdonami, ma continuo a non vedere come i potenziali di Lorenz $V(\mathbf{x},t)$ e $\mathbf{A}(\mathbf{x},t)$ che ho scritto (spero correttamente) sopra soddisfino tutte queste identità e in particolare le equazioni di Maxwell, che qui riscrivo in forma differenziale che è quella che hai usato tu,
$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial (\nabla V)}{\partial t}$$ $$\nabla\times(\nabla V)=\frac{\partial (\nabla\times \mathbf{A})}{\partial t}.$$
Per il caso stazionario ne esistono dimostrazioni, per esempio questa o meglio questa per $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}$. Per il caso non stazionario, $\mathbf{x}$ compare, insieme a $t$, nel secondo argomento, rendendo più complessa la questione. Come si può provare che le equazioni di Maxwell, insieme a $\nabla^2\mathbf{A}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\mu_0\mathbf{J}$, sono soddisfatte dalle espressioni di Lorenz per $\mathbf{A}$ e $V$?
P.S.: Quanto a \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\) è una semplice identità vettoriale valida per ogni $\mathbf{A}\in C^2$.
$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial (\nabla V)}{\partial t}$$ $$\nabla\times(\nabla V)=\frac{\partial (\nabla\times \mathbf{A})}{\partial t}.$$
Per il caso stazionario ne esistono dimostrazioni, per esempio questa o meglio questa per $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}$. Per il caso non stazionario, $\mathbf{x}$ compare, insieme a $t$, nel secondo argomento, rendendo più complessa la questione. Come si può provare che le equazioni di Maxwell, insieme a $\nabla^2\mathbf{A}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\mu_0\mathbf{J}$, sono soddisfatte dalle espressioni di Lorenz per $\mathbf{A}$ e $V$?
P.S.: Quanto a \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\) è una semplice identità vettoriale valida per ogni $\mathbf{A}\in C^2$.
Scusa se ti rispondo solo ora , gli impegni m' hanno travolto.
La mia intenzione era rispondere solo all'ultima delle tue 4 domande,
ma solo perché ormai sono da un po qui e so come le vuoi dimostrate tu, le cose.
Prima di provare a risponderti , ti dico che non capisco perché chiami $V$ e $A$ potenziali di Lorentz , sono il potenziale scalare e vettore che in determinate condizioni, o gauge ,seguono certe equazioni differenziali.
Entrando nel merito ora,tu chiedi perché continua a valere per esempio
$ grad \cdot (gradxx A)=0 $
e ne vorresti una dimostrazione matematica che comprenda il fatto che ora $A(x,t)$, ma pensandoci io so che
$ grad \cdot (gradxx A)=0 $ esprime l'inesistenza di monopoli magnetici, per questo è una semplice identità vettoriale che vale per ogni $A$ di $C^2$ , una proprietà che almeno ai giorni nostri sembra invariante nel tempo.
Ora questa
$ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial (\nabla V)}{\partial t} $
Dalle equazioni di Maxwell so che
$ gradxxH=j+(partial D)/(partial t) rArr gradxx(gradxxA)=mu_0j+1/(c^2)(partial E)/(partial t) $
ma se esprimo il campo elettrico in termini di potenziali scalare e vettore , ovvero
$ E=-gradV-(partialA)/(partialt) $ ho
$ gradxx(gradxxA)=mu_0j+1/(c^2)(partial)/(partialt)(-gradV-(partialA)/(partialt)) =$
$ grad^2A-1/(c^2)(partial^2A)/(partialt^2)-grad(gradA+1/(c^2)(partialV)/(partialt))=-mu_0j $
Ora nelle condizioni di Lorentz. i.e. $gradA+1/(c^2)(partialV)/(partialt)=0$
$ grad^2A-1/(c^2)(partial^2A)/(partialt^2)-grad(gradA+1/(c^2)(partialV)/(partialt))=-mu_0j $ $ rArr $
$ grad^2A-1/c^2(partial^2A)/(partial^2 t) =-mu_0j $
Ora non continuo con l'ultima perché non sono per niente sicuro che tu voglia questo tipo di dimostrazione, ma sappi che io integrali di Lebesgue non ne uso
La mia intenzione era rispondere solo all'ultima delle tue 4 domande,
ma solo perché ormai sono da un po qui e so come le vuoi dimostrate tu, le cose.
Prima di provare a risponderti , ti dico che non capisco perché chiami $V$ e $A$ potenziali di Lorentz , sono il potenziale scalare e vettore che in determinate condizioni, o gauge ,seguono certe equazioni differenziali.
Entrando nel merito ora,tu chiedi perché continua a valere per esempio
$ grad \cdot (gradxx A)=0 $
e ne vorresti una dimostrazione matematica che comprenda il fatto che ora $A(x,t)$, ma pensandoci io so che
$ grad \cdot (gradxx A)=0 $ esprime l'inesistenza di monopoli magnetici, per questo è una semplice identità vettoriale che vale per ogni $A$ di $C^2$ , una proprietà che almeno ai giorni nostri sembra invariante nel tempo.
Ora questa
$ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial (\nabla V)}{\partial t} $
Dalle equazioni di Maxwell so che
$ gradxxH=j+(partial D)/(partial t) rArr gradxx(gradxxA)=mu_0j+1/(c^2)(partial E)/(partial t) $
ma se esprimo il campo elettrico in termini di potenziali scalare e vettore , ovvero
$ E=-gradV-(partialA)/(partialt) $ ho
$ gradxx(gradxxA)=mu_0j+1/(c^2)(partial)/(partialt)(-gradV-(partialA)/(partialt)) =$
$ grad^2A-1/(c^2)(partial^2A)/(partialt^2)-grad(gradA+1/(c^2)(partialV)/(partialt))=-mu_0j $
Ora nelle condizioni di Lorentz. i.e. $gradA+1/(c^2)(partialV)/(partialt)=0$
$ grad^2A-1/(c^2)(partial^2A)/(partialt^2)-grad(gradA+1/(c^2)(partialV)/(partialt))=-mu_0j $ $ rArr $
$ grad^2A-1/c^2(partial^2A)/(partial^2 t) =-mu_0j $
Ora non continuo con l'ultima perché non sono per niente sicuro che tu voglia questo tipo di dimostrazione, ma sappi che io integrali di Lebesgue non ne uso
Grazie mille, Light, per la risposta! Perdonami se rispondo solo ora, ma ho avuto un trasloco durante il quale ero privo di linea Internet.
Ciò che non mi è chiaro sono i passaggi matematici che permettono di verificare che il campo $$\mathbf{A}(\mathbf{x},t):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d^3y $$verifica l'identità$$\nabla^2\mathbf{A}(\mathbf{x},t)-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=-\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x},t)$$e che inoltre valgono le identità \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial (\nabla V)}{\partial t}\) e \(\nabla\times(\nabla V)=\frac{\partial (\nabla\times \mathbf{A})}{\partial t}\). Suppongo che si differenzi qualche volta sotto integrale (quando è lecito) per verificare la prima identità e che si usi qualche proprietà ed identità particolare che coinvolgono $\rho$ per dimostrare le identità in cui figura $V$ (dato che la sua espressione è un integrale sotto cui figura la $\rho$)...
Ciò che non mi è chiaro sono i passaggi matematici che permettono di verificare che il campo $$\mathbf{A}(\mathbf{x},t):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d^3y $$verifica l'identità$$\nabla^2\mathbf{A}(\mathbf{x},t)-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=-\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x},t)$$e che inoltre valgono le identità \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial (\nabla V)}{\partial t}\) e \(\nabla\times(\nabla V)=\frac{\partial (\nabla\times \mathbf{A})}{\partial t}\). Suppongo che si differenzi qualche volta sotto integrale (quando è lecito) per verificare la prima identità e che si usi qualche proprietà ed identità particolare che coinvolgono $\rho$ per dimostrare le identità in cui figura $V$ (dato che la sua espressione è un integrale sotto cui figura la $\rho$)...
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