Gas e galassie - SNS 1986 (incipit problema)
Questo problema è formato da diversi punti, di cui, per ora, trascrivo solo il primo: gli altri infatti vanno eseguiti solo dopo aver fatto il primo.
"Osservazioni radio di galassie indicano la presenza di tracce di gas in zone ben al di fuori dell'immagine ottica delle galassie stesse. In tali zone le particelle di gas orbitano di moto circolare uniforme intorno al centro delle galassie con velocità $v$ indipendente dalla distanza $r$ dal centro, secondo la legge:
$v(r)=v_0$ (A)
i) Nell'ipotesi semplificatrice che la distribuzione di massa delle galassie dia a simmetria sferica, si dica quale vincolo impone la condizione (A) sulla distribuzione di massa. (E' conveniente utilizzare la funzione $M(r)$ che indica la massa contenuta entro il raggio $r$)."
La frase che non capisco è "orbitano di moto circolare uniforme intorno al centro delle galassie con velocità $v$ indipendente dalla distanza $r$ dal centro".. In quali casi la velocità di un corpo che orbita attorno ad un altro non dipende dalla sua distanza da esso? Non riesco a trovare delle giustificazioni a questa affermazione..
Aggiungo ora la seconda parte del problema:
"ii) Si supponga che la forza di attrazione gravitazionale sia modificata su grande scala cosicché una massa puntiforme M attiri una particella di massa m a distanza r secondo la legge
$F=-G*(Mm)/r^2 *f(r/gamma)$ (B)
con $gamma$ scala di lunghezza assegnata e $f(r/gamma)$ circa 1 per $r$ molto minore di $gamma$. Si scelga una semplice funzione $f$ tale che per $r$ molto maggiore di $gamma$ la formula (B) sia compatibile con la (A) (nell'ipotesi semplificatrice, in questo caso, che la massa della galassia sia tutta concentrata in un punto)."
Allora, volevo chiedere cosa sia $gamma$, una specie di unità di misura?
Quindi dovrei tornare a ricavare la velocità di rotazione con la nuova espressione della forza gravitazionale:
$m*v^2/r=G(Mm)/r^2 *f(r/gamma)$
da cui $v=sqrt(GM*(f(r/gamma))/r)$.
Siccome ora la massa è concentrata su un punto non vale quello che ho ricavato nel punto precedente, cioè $M(r)=k*r$, ma devo fare in modo che $f(r/gamma)$ si semplifichi con $r$, così da lasciare che la velocità di rotazione sia indipendente dalla distanza dal centro della galassia.
Quindi la mia ricerca di $f$ deve essere tale da darmi una funzione per cui, se $r$ molto minore di $gamma$ allora $f(r/gamma)$ circa 1, e se $r$ molto maggiore di $gamma$ allora $f(r/gamma)=h*r$?
Grazie dell'aiuto.
"Osservazioni radio di galassie indicano la presenza di tracce di gas in zone ben al di fuori dell'immagine ottica delle galassie stesse. In tali zone le particelle di gas orbitano di moto circolare uniforme intorno al centro delle galassie con velocità $v$ indipendente dalla distanza $r$ dal centro, secondo la legge:
$v(r)=v_0$ (A)
i) Nell'ipotesi semplificatrice che la distribuzione di massa delle galassie dia a simmetria sferica, si dica quale vincolo impone la condizione (A) sulla distribuzione di massa. (E' conveniente utilizzare la funzione $M(r)$ che indica la massa contenuta entro il raggio $r$)."
La frase che non capisco è "orbitano di moto circolare uniforme intorno al centro delle galassie con velocità $v$ indipendente dalla distanza $r$ dal centro".. In quali casi la velocità di un corpo che orbita attorno ad un altro non dipende dalla sua distanza da esso? Non riesco a trovare delle giustificazioni a questa affermazione..
Aggiungo ora la seconda parte del problema:
"ii) Si supponga che la forza di attrazione gravitazionale sia modificata su grande scala cosicché una massa puntiforme M attiri una particella di massa m a distanza r secondo la legge
$F=-G*(Mm)/r^2 *f(r/gamma)$ (B)
con $gamma$ scala di lunghezza assegnata e $f(r/gamma)$ circa 1 per $r$ molto minore di $gamma$. Si scelga una semplice funzione $f$ tale che per $r$ molto maggiore di $gamma$ la formula (B) sia compatibile con la (A) (nell'ipotesi semplificatrice, in questo caso, che la massa della galassia sia tutta concentrata in un punto)."
Allora, volevo chiedere cosa sia $gamma$, una specie di unità di misura?
Quindi dovrei tornare a ricavare la velocità di rotazione con la nuova espressione della forza gravitazionale:
$m*v^2/r=G(Mm)/r^2 *f(r/gamma)$
da cui $v=sqrt(GM*(f(r/gamma))/r)$.
Siccome ora la massa è concentrata su un punto non vale quello che ho ricavato nel punto precedente, cioè $M(r)=k*r$, ma devo fare in modo che $f(r/gamma)$ si semplifichi con $r$, così da lasciare che la velocità di rotazione sia indipendente dalla distanza dal centro della galassia.
Quindi la mia ricerca di $f$ deve essere tale da darmi una funzione per cui, se $r$ molto minore di $gamma$ allora $f(r/gamma)$ circa 1, e se $r$ molto maggiore di $gamma$ allora $f(r/gamma)=h*r$?
Grazie dell'aiuto.
Risposte
non so come darti un suggerimento senza dare direttamente la soluzione :p
pensa che la massa allontanandosi dal centro cresce come M(r)
date le approssimazioni del problema se sei in posizione $r_0$ puoi pensare che l'orbita sia kepleriana attorno ad un oggetto centrale di massa $M(r_0)$, e quindi avrà una velocità kepleriana $v(r_0)$
come va in funzione di r la velocità kepleriana? per annullare questa dipendenza, come deve crescere M(r)?
pensa che la massa allontanandosi dal centro cresce come M(r)
date le approssimazioni del problema se sei in posizione $r_0$ puoi pensare che l'orbita sia kepleriana attorno ad un oggetto centrale di massa $M(r_0)$, e quindi avrà una velocità kepleriana $v(r_0)$
come va in funzione di r la velocità kepleriana? per annullare questa dipendenza, come deve crescere M(r)?
La velocità kepleriana in funzione di $r$ è $v_k=sqrt((G*M(r))/r)$. Quindi mi viene da pensare che per annullare la dipendenza della velocità dalla distanza $r$, $M(r)$ si possa scrivere come $M(r)=k*r$ con $k$ una costante, cioè che la massa cresca in modo lineare rispetto alla distanza dal centro. Se così fosse, la $r$ si potrebbe semplificare con quella al denominatore..
E' questo il ragionamento?
E' questo il ragionamento?
Chiaramente, perché quella che mi chiede il testo è la "distribuzione di massa", cioè la densità.. Grazie mille!
Ho aggiunto il secondo punto del problema.
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