Funzione velocità in un moto con massa variabile

[pannaSmontata1]

Cari ragazzi,

eccomi col mio primo post.

Ho un problema che descrive la situazione di un camion con una sorta di cassone aperto che, durante un percorso su una superficie piana (priva d'attrito), s'imbatte in un acquazzone e si riempe d'acqua. L'esercizio richiede d'individuare la velocità in funzione del tempo.

Dati:

* volume massimo $ V_max = 100 l $;
* velocità iniziale $ v_0 = 10 m/s $;
* quantità d'acqua entrante $ r = 2 l/min $;
* massa iniziale del camion $ m_0 = 50 kg $.

Ho pensato di sfruttare il principio della conservazione della quantità di moto, ma mi è sorto un dubbio: quale relazione s'instaura tra le direzioni rispettivamente, perpendicolare dell'acqua, e orizzontale del camion rispetto al piano? Cerco di spiegarmi meglio: una possibilità sarebbe quella di utilizzare il moto del razzo come punto di partenza, ovvero:

$ mv = (m+dm)(v+dv) + r v_a $

dove $ v_a $ è la velocità dell'acqua. Solo che in questo caso la velocità d'ingresso dell'acqua non ha la stessa direzione del movimento del camion.

Condividete il mio ragionamento? Ogni consiglio è ben accetto.

Ciao a tutti,

pannaSmontata

[Falco5x]

Il problema può essere anche descritto con parole diverse.
Un camion dotato di velocità iniziale si muove per inerzia in direzione x a motore spento su una superficie senza attrito.
Dalla direzione y cade ogni secondo una massa d'acqua che urta il cassone aperto del camion con urto completamente anelastico, perché l'acqua dopo l'urto si attacca al cassone e i due viaggiano insieme.
Supponendo che la quantità di moto iniziale in direzione x della massa d'acqua sia nulla e immaginando che la sua quantità di moto in direzione y sia istantaneamente azzerata dalla reazione d'appoggio sul piano liscio, la quantità di moto da valutare è solo quella in direzione x.
Quest'ultima allora si deve conservare. La quantità di moto iniziale è data da $Mv_0+m\cdot0$ (dove m è la massa d'acqua interessata), mentre la quantità di moto dopo l'urto è $(M+m)v$. Queste due quantità devono essere uguali. Sviluppando i calcoli si ha:

[tex]\begin{array}{l}
\left[ {{M_0} + m\left( t \right)} \right]v\left( t \right) = {M_0}{v_0} \\
\\
\left[ {{M_0} + r\frac{t}{{60}}} \right]v\left( t \right) = {M_0}{v_0} \\
\\
v\left( t \right) = \frac{{{M_0}{v_0}}}{{{M_0} + r\frac{t}{{60}}}} = {M_0}\frac{{{v_0}}}{{1 + \frac{r}{{60{M_0}}}t}} \\
\end{array}[/tex]

[pannaSmontata1]

Grazie. Carina l'idea di pensarla con l'urto anelastico!