Funzione di partizione per bosoni e fermioni
Salve a tutti,
vorrei chiedere un chiarimento riguardo ad un esercizio di meccanica statistica quantistica.
Si tratta di un sistema a tre livelli di energia (0, E_1, E_2) con due particelle senza spin non interagenti; quello che devo fare è scrivere la funzione di partizione nell'insieme canonico sia supponendo di aver a che fare sia con bosoni che con fermioni.
Ora, ho calcolato la funzione di partizione ricorrendo alla definizione,
$ Z=\sum \exp(-\betaE_i) $ ,
ed ho ricavato l'energia interna facendone la derivata rispetto a $ \beta $ e facendone l'inverso. Tuttavia il comportamento di U per T che va a zero o infinito non mi convincono.
I risultati sono:
$ Z= [1+\exp(-\betaE_1)+\exp(-\betaE_2)]^2 $ per i fermioni
$ Z= 2*[1+\exp(-\betaE_1)+\exp(-\betaE_2)]^2 $ per i bosoni
in altre parole la funzione di partizione è la stessa a meno di un fattore due, quindi l'energia interna è la stessa e va a zero per T che va a zero, in entrambi i casi.
Potreste chiarirmi dove ho sbagliato?
vorrei chiedere un chiarimento riguardo ad un esercizio di meccanica statistica quantistica.
Si tratta di un sistema a tre livelli di energia (0, E_1, E_2) con due particelle senza spin non interagenti; quello che devo fare è scrivere la funzione di partizione nell'insieme canonico sia supponendo di aver a che fare sia con bosoni che con fermioni.
Ora, ho calcolato la funzione di partizione ricorrendo alla definizione,
$ Z=\sum \exp(-\betaE_i) $ ,
ed ho ricavato l'energia interna facendone la derivata rispetto a $ \beta $ e facendone l'inverso. Tuttavia il comportamento di U per T che va a zero o infinito non mi convincono.
I risultati sono:
$ Z= [1+\exp(-\betaE_1)+\exp(-\betaE_2)]^2 $ per i fermioni
$ Z= 2*[1+\exp(-\betaE_1)+\exp(-\betaE_2)]^2 $ per i bosoni
in altre parole la funzione di partizione è la stessa a meno di un fattore due, quindi l'energia interna è la stessa e va a zero per T che va a zero, in entrambi i casi.
Potreste chiarirmi dove ho sbagliato?
Risposte
Le $E_i$ nella $Z$ sono i livelli energetici del sistema, non le energie di particella singola.
Scusa, potresti spiegarti meglio?
Un sistema di particelle non interagenti ha un'hamiltoniana che è la somma delle hamiltoniane di particella singola:
$H = \sum_p H_p$
Le $E_i$ che compaiono nell'espressione per $Z$ sono lo spettro di $H$, non di $H_p$.
Devi trovare lo spettro di $H$.
$H = \sum_p H_p$
Le $E_i$ che compaiono nell'espressione per $Z$ sono lo spettro di $H$, non di $H_p$.
Devi trovare lo spettro di $H$.
L'hamiltoniana è $ \sum_i H_i = \sum_i p_i^2 /(2m) $?
No. Sai già tutto sull'hamiltoniana di particella singola, hai lo spettro.
Per chiarire le idee, ignora temporaneamente le statistiche (bosoni/fermioni) e l'indistinguibilità delle tue particelle. Hai questi stati indipendenti:
$| 0, 0 \rangle$, $|0, 1 \rangle$, $|0,2 \rangle$, $|1,0 \rangle$, $|1,1 \rangle$, $|1,2 \rangle$, $|2,0 \rangle$, $|2,1 \rangle$, $|2,2 \rangle$.
dove $|n_1, n_2 \rangle$ è lo stato con la prima particella nel livello energetico $E_{n_1}$ e la seconda nell' $E_{n_2}$.
Questi 9 generano uno spazio degli stati di dimensione 9. Questa è anche una base che diagonalizza le $H_i$. Infatti, ad esempio:
$H_2 |2,1 \rangle = E_1 |2,1 \rangle$
Siccome $H = H_1 + H_2$, questa è una base che diagonalizza anche $H$. Infatti, ad esempio:
$H |2,1 \rangle = (H_1 + H_2) |2,1 \rangle = (E_2 + E_1) |2,1\rangle$
(ovvero $|2,1 \rangle$ è autostato di $H$ con autovalore somma degli autovalori di $H_1$ e $H_2$).
Quindi, è chiaro che puoi ricavare lo spettro di $H$. Sono tutte le possibili somme di energie di particella singola. A conti fatti, sono:
$0 + 0 = 0$,
$E_1 + 0 = E_1$,
$E_1 + E_1 = 2E_1$,
$E_1 + E_2$,
$E_2 + E_2 = 2 E_2$,
$E_2 + 0 = E_2$.
ora, per calcolare $Z$, devi avere anche le degenerazioni, cioè quanti stati indipendenti hanno un dato livello energetico (la dimensione dell'autospazio). Perché? Perché la $Z$ è una somma su stati indipendenti:
$Z = \sum_s e^{-\beta E_s} = \sum_E g_E e^{-\beta E}$
Ovvero un livello $g$-degenere compare $g$ volte nella somma.
Per le degenerazioni faccio solo un esempio rappresentativo:
$E = E_1$ si può ottenere con $|1,0 \rangle$ o anche con $|0,1 \rangle$. Allora la degenerazione è $2$.
Questa è tutta l'informazione che ti serve per calcolare $Z$.
Chiaramente tutto ciò che ho scritto sopra vale per particelle Boltzmanniane distinguibili. Tu hai bosoni/fermioni indistinguibili e quindi cambierà il tuo conteggio degli stati indipendenti (formalmente: il tuo spazio di Hilbert degli stati sarà un sottospazio di quello che ho scritto sopra). Questo rende la cosa concettualmente un filino più difficile, ma i calcoli estremamente più semplici.
Sostanzialmente, quello che devi fare è cercare di vedere in quanti e quali modi si possono infilare queste due particelle negli stati. Ricorda che le particelle sono senza spin, questo significa che non devi moltiplicare gli stati di particella singola, sono uguali per i due tipi di particelle.
Per chiarire le idee, ignora temporaneamente le statistiche (bosoni/fermioni) e l'indistinguibilità delle tue particelle. Hai questi stati indipendenti:
$| 0, 0 \rangle$, $|0, 1 \rangle$, $|0,2 \rangle$, $|1,0 \rangle$, $|1,1 \rangle$, $|1,2 \rangle$, $|2,0 \rangle$, $|2,1 \rangle$, $|2,2 \rangle$.
dove $|n_1, n_2 \rangle$ è lo stato con la prima particella nel livello energetico $E_{n_1}$ e la seconda nell' $E_{n_2}$.
Questi 9 generano uno spazio degli stati di dimensione 9. Questa è anche una base che diagonalizza le $H_i$. Infatti, ad esempio:
$H_2 |2,1 \rangle = E_1 |2,1 \rangle$
Siccome $H = H_1 + H_2$, questa è una base che diagonalizza anche $H$. Infatti, ad esempio:
$H |2,1 \rangle = (H_1 + H_2) |2,1 \rangle = (E_2 + E_1) |2,1\rangle$
(ovvero $|2,1 \rangle$ è autostato di $H$ con autovalore somma degli autovalori di $H_1$ e $H_2$).
Quindi, è chiaro che puoi ricavare lo spettro di $H$. Sono tutte le possibili somme di energie di particella singola. A conti fatti, sono:
$0 + 0 = 0$,
$E_1 + 0 = E_1$,
$E_1 + E_1 = 2E_1$,
$E_1 + E_2$,
$E_2 + E_2 = 2 E_2$,
$E_2 + 0 = E_2$.
ora, per calcolare $Z$, devi avere anche le degenerazioni, cioè quanti stati indipendenti hanno un dato livello energetico (la dimensione dell'autospazio). Perché? Perché la $Z$ è una somma su stati indipendenti:
$Z = \sum_s e^{-\beta E_s} = \sum_E g_E e^{-\beta E}$
Ovvero un livello $g$-degenere compare $g$ volte nella somma.
Per le degenerazioni faccio solo un esempio rappresentativo:
$E = E_1$ si può ottenere con $|1,0 \rangle$ o anche con $|0,1 \rangle$. Allora la degenerazione è $2$.
Questa è tutta l'informazione che ti serve per calcolare $Z$.
Chiaramente tutto ciò che ho scritto sopra vale per particelle Boltzmanniane distinguibili. Tu hai bosoni/fermioni indistinguibili e quindi cambierà il tuo conteggio degli stati indipendenti (formalmente: il tuo spazio di Hilbert degli stati sarà un sottospazio di quello che ho scritto sopra). Questo rende la cosa concettualmente un filino più difficile, ma i calcoli estremamente più semplici.
Sostanzialmente, quello che devi fare è cercare di vedere in quanti e quali modi si possono infilare queste due particelle negli stati. Ricorda che le particelle sono senza spin, questo significa che non devi moltiplicare gli stati di particella singola, sono uguali per i due tipi di particelle.
Allora, l'hamiltoniana di singola particella è $ H=\epsilon_1 + \epsilon_2 $. Per quanto riguarda il conteggio degli stati, sono tre stati accessibili per i fermioni [(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)] e sei per i bosoni [(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)].
Se così fosse si avrebbe, tenuto conto dell'indipendenza delle due particelle,
$ Z_0=\sum_i exp(-\beta \epsilon_i) $ sia per i bosoni che per i fermioni, con la differenza che per i primi ogni stato ha degenerazione due. Per trovare la Z complessiva bisogna elevare Z_0 al quadrato.
E' corretto?
Se così fosse si avrebbe, tenuto conto dell'indipendenza delle due particelle,
$ Z_0=\sum_i exp(-\beta \epsilon_i) $ sia per i bosoni che per i fermioni, con la differenza che per i primi ogni stato ha degenerazione due. Per trovare la Z complessiva bisogna elevare Z_0 al quadrato.
E' corretto?
"Hrvatia":
Allora, l'hamiltoniana di singola particella è $ H=\epsilon_1 + \epsilon_2 $.
hai solo cambiato le lettere rispetto a prima, ma non vedo come questo possa mostrarmi che hai capito.
Per quanto riguarda il conteggio degli stati, sono tre stati accessibili per i fermioni [(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)] e sei per i bosoni [(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)].
Se così fosse si avrebbe, tenuto conto dell'indipendenza delle due particelle,
$ Z_0=\sum_i exp(-\beta \epsilon_i) $ sia per i bosoni che per i fermioni,
tutto giusto,
con la differenza che per i primi ogni stato ha degenerazione due.
...no, da dove esce fuori questa?
Per trovare la Z complessiva bisogna elevare Z_0 al quadrato.
perché?
Scusa, sono un po' confuso... Allora, per un sistema di N particelle non interagenti la funzione di partizione è $ Z=(Z_0)^N $ dove $ Z_0 $ è quella relativa ad una singola particella. Gli stati accessibili al sistema li ho scritti sia per i fermioni che per i bosoni, e sono rispettivamente 3 e 6. Tenderei quindi a pensare che la funzione di partizione sia diversa per i due casi, e quindi se è uguale ad $ [1+exp(-\beta \epsilon_1)+exp(-\beta \epsilon_2)]^2 $ per i fermioni, non potrà essere la stessa per i bosoni! Per i fermioni, la scrittura della Z di singola particella sembra abbastanza immediata (anche se, ripeto, l'energia interna che si ricava va a zero per T che va a zero, e questo non mi sembra corretto), mentre per i bosoni ho un po' di difficoltà. Esplicitamente mi trovo $ Z(bosoni)=1+exp(-\beta \epsilon_1)+exp(-\beta \epsilon_2)+exp(-\beta (\epsilon_1 + \epsilon_2))+exp(-2 \beta \epsilon_2)+exp(-2 \beta \epsilon_1) $.
Insomma, le due funzioni di partizione le ho scritte, ma dubito che siano scritte bene. Da quello che mi stai dicendo però, mi sembra che il ragionamento che ho seguito sia giusto...
Insomma, le due funzioni di partizione le ho scritte, ma dubito che siano scritte bene. Da quello che mi stai dicendo però, mi sembra che il ragionamento che ho seguito sia giusto...
"Hrvatia":
Allora, per un sistema di N particelle non interagenti la funzione di partizione è $ Z=(Z_0)^N $ dove $ Z_0 $ è quella relativa ad una singola particella.
No, questo vale solo per sottosistemi distinguibili e con statistica Boltzmanniana. (Per convincertene, prova a rivedere la dimostrazione che $Z = \prod_i Z_i$).
Per statistica sempre Boltzmanniana ma indistinguibili, vale $Z = \frac{Z_0^N}{N!}$ (fattore correttivo)
i tuoi sottosistemi sono invece bosonici/fermionici, quindi non si applica.
La tua $Z_{\text{BE}}(\beta)$ mi pare giusta, fai la $Z_{\text{FD}}$ uguale.
No, questo vale solo per sottosistemi distinguibili e con statistica Boltzmanniana. (Per convincertene, prova a rivedere la dimostrazione che Z=∏iZi).
Questo è l'errore che ho commesso! Ero convinto che fosse valida in generale, ecco perché ho sbagliato anche ad inserire i valori di $ E_n $ nella funzione di partizione dei fermioni... L'ho scritta prima per la singola particella e poi ho elevato al quadrato.
A questo punto, $ Z_(FD) = exp(-\beta \epsilon_1) + exp(-\beta \epsilon_1) + exp(-\beta (\epsilon_1 + \epsilon_2)) $.
Con questa funzione di partizione mi trovo anche che per T che va a zero, U tende ad $ \epsilon_1 $ per i fermioni e a zero per i bosoni.
Grazie mille, molto gentile!
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