Funzione di Lagrange pendolo
Salve a tutti ,
allora ho un pendolo il cui punto di sospensione si muove uniformemente lungo una circonferenza con una frequenza costante $gamma$
Le cordinate del punto sono :
$x=acosgammat + lsinalpha $ e $ y=-asingammat + l cosalpha $
Il mio libro dice che la Lagrangiana del sistema è allora :
$L=(ml^2alpha '^2)/2+mlagamma^2sin(alpha -gammat)+mglcosalpha $
Mi spiegate il perché di quel $gamma^2$ , a me viene solo $gamma$
allora ho un pendolo il cui punto di sospensione si muove uniformemente lungo una circonferenza con una frequenza costante $gamma$
Le cordinate del punto sono :
$x=acosgammat + lsinalpha $ e $ y=-asingammat + l cosalpha $
Il mio libro dice che la Lagrangiana del sistema è allora :
$L=(ml^2alpha '^2)/2+mlagamma^2sin(alpha -gammat)+mglcosalpha $
Mi spiegate il perché di quel $gamma^2$ , a me viene solo $gamma$
Risposte
A me viene $\gamma \alpha'$...
Comunque, per semplificare la lagrangiana e togliere quell'$\alpha'$, basta fare in modo che il secondo termine della lagrangiana sia trasformato nella somma di un termine più semplice (quello scriito nel libro) più una derivata totale rispetto al tempo che, come ben sai, lo si può omettere...
Ho risolto , grazie . 
Non avevo notato , dalla figura del Landau , che
$alpha=pi/2 -gammat$ , e allora tutto torna , tranne il fatto della derivata totale rispetto al tempo di $malgammacos(alpha-gammat) $ quella da dove esce , non lo eliminata perchè neanche l'ho trovata
Una cosa , mi dice che nello scrivere la Lagrangiana si trascurano i termini dipendenti solo dal tempo , da quanto ho capito io , questo perchè la funzione di Lagrange è determinata a meno di una derivata totale additiva di una funzione qualsiasi delle coordinate e del tempo.
Alla base però c' è una cosa che non ho capito ,
considerando due funzioni lagrangiane che differiscono solo per una derivata totale rispetto al tempo di una funzione delle coordiante e del tempo , allora :
$S'= int_(t_1)^(t2) L'(q,q',t)dt=int_(t_1)^(t_2)L(q,q',t) +int_(t_1)^(t2)(df)/dtdt=S+f(q_2,t_2)-f(q_1.t_1) $
Perchè quel termine temporale si annulla quando varia l'azione ?
Inoltre ,
perchè quanto si considera la variazione della funzione di Lagrange allora
$ deltaq(t_1)=deltaq(t_2)=0 $ ?
Grazie per l'aiuto e per il tuo tempo.
Non avevo notato , dalla figura del Landau , che
$alpha=pi/2 -gammat$ , e allora tutto torna , tranne il fatto della derivata totale rispetto al tempo di $malgammacos(alpha-gammat) $ quella da dove esce , non lo eliminata perchè neanche l'ho trovata
Una cosa , mi dice che nello scrivere la Lagrangiana si trascurano i termini dipendenti solo dal tempo , da quanto ho capito io , questo perchè la funzione di Lagrange è determinata a meno di una derivata totale additiva di una funzione qualsiasi delle coordinate e del tempo.
Alla base però c' è una cosa che non ho capito ,
considerando due funzioni lagrangiane che differiscono solo per una derivata totale rispetto al tempo di una funzione delle coordiante e del tempo , allora :
$S'= int_(t_1)^(t2) L'(q,q',t)dt=int_(t_1)^(t_2)L(q,q',t) +int_(t_1)^(t2)(df)/dtdt=S+f(q_2,t_2)-f(q_1.t_1) $
Perchè quel termine temporale si annulla quando varia l'azione ?
Inoltre ,
perchè quanto si considera la variazione della funzione di Lagrange allora
$ deltaq(t_1)=deltaq(t_2)=0 $ ?
Grazie per l'aiuto e per il tuo tempo.
Quel legame fra $\alpha$ e $\gamma t$ non lo capisco...
S e S' differiscono per una costante in quanto la funzione f è data ed i punti di partenza ed arrivo delle traiettorie sono fissi. Allora, la traiettoria che minimizza S minimizzerà anche S'.
La variazione $\delta q$ deve essere proprio così. In questo modo, tutte le traiettorie $q + \delta q$ congiungono i due punti fissi ...
Prego, è un piacere dare una mano. Spero di non commettere troppi errori...
S e S' differiscono per una costante in quanto la funzione f è data ed i punti di partenza ed arrivo delle traiettorie sono fissi. Allora, la traiettoria che minimizza S minimizzerà anche S'.
La variazione $\delta q$ deve essere proprio così. In questo modo, tutte le traiettorie $q + \delta q$ congiungono i due punti fissi ...
Prego, è un piacere dare una mano. Spero di non commettere troppi errori...
per semplificare la lagrangiana e togliere quell'$α'$, basta fare in modo che il secondo termine della lagrangiana sia
trasformato nella somma di un termine più semplice (quello scritto nel libro) più una derivata totale rispetto al tempo
Mi potresti dire in che modo si può fare ,
non riesco a venirne a capo . Quale termine si trasforma nella somma di questi due termini ? E quali sono questi due termini ?
Per le altre due domande che ti ho fatto , sei stato chiarissimo grazie.
[ot]Complimenti per il tuo sito[/ot]
Poichè:
$\frac{d}{dt} m a \gamma l \alpha sin(\alpha - \gamma t) = m a \gamma l \alpha' sin(\alpha - \gamma t) - m a \gamma ^2 l \alpha cos(\alpha - \gamma t)$,
si ha:
$m a \gamma l \alpha' sin(\alpha - \gamma t) = \frac{d}{dt} m a \gamma l \alpha sin(\alpha) + m a \gamma^2 l \alpha cos(\alpha - \gamma t)$.
Sostituisci nella lagrangiana e il gioco è fatto. Solo che così rimane il coseno invece del seno, come riporta il testo... sarà un errore di stampa...
****** derivata sbagliatissima ******* vedi post ulteriori.
$\frac{d}{dt} m a \gamma l \alpha sin(\alpha - \gamma t) = m a \gamma l \alpha' sin(\alpha - \gamma t) - m a \gamma ^2 l \alpha cos(\alpha - \gamma t)$,
si ha:
$m a \gamma l \alpha' sin(\alpha - \gamma t) = \frac{d}{dt} m a \gamma l \alpha sin(\alpha) + m a \gamma^2 l \alpha cos(\alpha - \gamma t)$.
Sostituisci nella lagrangiana e il gioco è fatto. Solo che così rimane il coseno invece del seno, come riporta il testo... sarà un errore di stampa...
****** derivata sbagliatissima ******* vedi post ulteriori.
Il fatto è che procedendo in questo modo , oltre a rimanere in coseno invece del seno , rimane anche l ' $alpha$ che invece secondo il testo non ci dovrebbe essere.
Io avevo pensato , per quanto riguarda il discorso del legame tra $alpha$ e $gammat$ , insomma se hai presente la figura , del pendolo con il suo punto di sospensione che ruota sulla circonferenza, che l' angolo somma $alpha +gammat=kost=pi/2$
In questo modo hai che appunto $alpha=pi/2-gammat$ e quindi che $alpha'=-gammat$ , ma non penso sia giusto.
Io avevo pensato , per quanto riguarda il discorso del legame tra $alpha$ e $gammat$ , insomma se hai presente la figura , del pendolo con il suo punto di sospensione che ruota sulla circonferenza, che l' angolo somma $alpha +gammat=kost=pi/2$
In questo modo hai che appunto $alpha=pi/2-gammat$ e quindi che $alpha'=-gammat$ , ma non penso sia giusto.
Ho sbagliato in pieno la derivata... scusa. Il calcolo esatto è:
$\frac{d}{dt} m l a \gamma cos(\alpha - \gamma t)=-m l a \gamma (\alpha' - \gamma) sin(\alpha - \gamma t)= ...$
Ora quadra. Quella relazione fra $\alpha$ e $\gamma t$ non ha senso.
$\frac{d}{dt} m l a \gamma cos(\alpha - \gamma t)=-m l a \gamma (\alpha' - \gamma) sin(\alpha - \gamma t)= ...$
Ora quadra. Quella relazione fra $\alpha$ e $\gamma t$ non ha senso.
Si ora quadra tutto !
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