Fronte d'onda e relatività ristretta

[Flaviuz1]

Ho iniziato a studiare la relatività ristretta, ed mi è sorto un dubbio. Supponiamo di avere un sistema di riferimento inerziale S: se in esso vi è una sorgente di luce in $C=(x_0,y_0,z_0)$, l'equazione del fronte d'onda è:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=c^2*(t-t_0)^2$

In un altro sistema inerziale S', fermo rispetto a S, si ha:
$(x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=c^2*(t'-t'_0)^2$

Se invece S' primo si muove con velocità costante $v$ rispetto a S, come scriviamo l'equazione del fronte d'onda in S'?

Lo chiedo perchè a lezione, per ottenere le leggi delle trasformazioni di Lorentz, abbiamo supposto di avere una sorgente di luce in $O=(0,0,0)$ (per S) e un sistema S', con assi equiversi, che si muove rispetto a S solo nella direzione dell'asse x. In tale caso l'ipotesi che facciamo è che $x'$ e $t'$ siano funzioni lineari di $x$ e $t$, cioè:
$x'=Ax+Bt$
$t'=Cx+Dt$

Per trovare le equazioni abbiamo imposto le condizioni:
$x^2+y^2+z'^2=c^2*t^2$
$x'^2+y'^2+z'^2=c^2*t'^2$

A questo punto è sorto il dubbio: scrivendo questo, si è supposto che le sorgenti di luce siano 2, una in $O$ e una in $O'$, giusto? altrimenti per il sistema S' non avrebbe senso l'equazione del fronte d'onda....

[Sk_Anonymous]

"Flaviuz":
Per trovare le equazioni abbiamo imposto le condizioni:

$x^2+y^2+z'^2=c^2*t^2$

$x'^2+y'^2+z'^2=c^2*t'^2$

A questo punto è sorto il dubbio: scrivendo questo, si è supposto che le sorgenti di luce siano 2, una in $O$ e una in $O'$, giusto? altrimenti per il sistema S' non avrebbe senso l'equazione del fronte d'onda...

Non è necessario, puoi anche supporre una sola sorgente. I due osservatori, nel descrivere il movimento dello stesso fronte d'onda, scriveranno:

$\{(x^2+y^2+z^2=c^2t^2),(x'^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2):} rarr \{(y^2+z^2=c^2t^2-x^2),(y'^2+z'^2=c^2t'^2-x'^2):} rarr [c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2]$

supponendo:

$\{(y=y'),(z=z'):}$

[Flaviuz1]

E' proprio questo che non mi torna: scrivendo l'equazione del fronte d'onda, scriviamo l'equazione cartesiana di una sfera che ha centro nella sorgente di luce. Se S' si muove, questa sfera come fa ad avere equazione con termine $x'^2$, e non $(x'-c(t))^2$, essendo il centro il moto rispetto proprio a S'?

[Sk_Anonymous]

Una volta emesso, il fronte d'onda non dipende più dal moto della sorgente. E siccome viene emesso quando la sorgente si trova nell'origine di entrambi i sistemi di riferimento, le equazioni che lo rappresentano possono essere solo quelle, vista la costanza della velocità della luce. Inoltre, per poterle scrivere, non è nemmeno necessario che la sorgente sia in quiete rispetto ad uno dei due.

[Flaviuz1]

Ho capito adesso: grazie. Anche perchè se ci fossero state 2 sorgenti, non solo con $c$ sarebbero state vere le leggi...