Frequenza delle oscillazioni in un sistema newtoniano

[fran881]

Ho il sistema newtoniano:
${(\dot x =y),(\dot y = f(x)):}$ con f di classe $C^1$ su $(a,b)$
Un suo punto di equilibrio è $(x_0,0)$, punto in cui l'energia potenziale ($V(x)=-intf(x)dx$) ha un minimo non degenere (ovvero $f'(x_0)<0$).
In questo punto il linearizzato del sistema é:
${((d(x-x_0))/dt = y ),(dy/dt = f'(x_0)(x-x_0)):}$.
Gli autovalori del sistema linearizzato sono $+-J sqrt(-f'(x_0))$. (J è l'unità immaginaria)
Dato che l'energia totale ($E=V + 1/2y^2$) è un integrale primo del sistema e che le sue curve di livello in un intorno del punto di equilibrio approssimano delle ellissi le orbite del sistema approssimano delle ellissi.
Vorrei sapere qual é il ragionamento che mi permette di concludere che la frequenza su queste orbite simil-ellittiche é $sqrt(-f'(x_0))$ coincidente con la parte immaginaria degli autovalori del sistema linearizzato.
Spero che sia tutto chiaro. Grazie.

[lucagalbu]

Ciao.. anche se un po' in ritardo, provo a risponderti.
Supponiamo che l'energia potenziale sia di classe $C^2$ e che abbia un minimo nel punto $x_0$. Espandiamola in serie di Taylor intorno al punto di equilibrio:
$V(x)=V(X_0)+(x-x_0)V'(x_0)+frac{1}{2}(x-x_0)^{2} V''(x_0)+...$
$V(x_0)$ è una costante che possiamo ignorare perchè l'energia potenziale è definita sempre a meno di una costante e $V'(x_0)$ è nullo perchè $x_0$ è un punto di equilibrio.
L'energia totale del sistema è quindi:
$E=frac{v^2}{2}+frac{V''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$ (si è supposto massa=1)
Questa è formalmente uguale all'energia di un oscillatore armonico: $E=frac{v^2}{2}+frac{k}{2}(x-x_0)^2$ basta porre $k=V''(x_0)$
Dalle formule dell'oscillatore armonico si ha che $omega=sqrt{k}$ dove ancora si è supposto m=1.
Quindi per il tuo sistema hai: $omega=sqrtk=sqrt{V''(x_0)}=sqrt{-f'(x_0)}$