Freccette ed energia

[Elyob1]

Ciao ragazzi!
Sto studiando Meccanica e alla fine del paragrafo su lavoro ed energia cinetica c'è questo piccolo quiz:

"Una freccetta è spinta nella canna di un fucile giocattolo comprimendo la molla di un tratto x. Successivamente una seconda freccetta viene inserita, comprimendo la molladi 2x. Quanto velocemente esce dal fucile la freccetta nel secondo caso rispetto al primo?"

So che è stupido, e sembrava stupido anche a me, eppure provando a risolverlo non sono riuscita ad arrivare alle stesse conclusioni del libro.. La risposta data dal libro è "Due volte più velocemente. Il lavoro è proporzionale al quadrato della compressione x e l'energia cinetica è proporzionale al quadrato della velocità, raddoppiando x si raddoppia la velocità. " ma non riesco a capire come si legano le due proporzionalità, cioè sappiamo che:
$ W alpha x^2 $
$ K alpha v^2 $
$ 2x alpha 2v $
... e quindi? Come si legano le relazioni?

Seconda questione: io avevo provato a risolverlo secondo un metodo sicuramente più lungo, ma che dovrebbe comunque portare al risultato, eppure niente lo stesso:

-Nel caso di una freccetta:
$ W=SigmaF xx x = ( -kx)x = -kx^2 $
$ W=K $ considero solo l'energia cinetica finale in quanro la velocità iniziale è 0.
$-kx^2=1/2 mv^2$
$ v=x sqrt (-2k/m)$
-Nel caso di due freccette:
$ W=SigmaF xx 2x = ( -kx-kx)2x = -4kx^2 $
$ W=K $
$-4kx^2=1/2 2 mv^2$ considero 2m perché le freccette ora sono due, quindi doppia massa.
$ v=2x sqrt (-k/m)$
Rapporto tra le due velocità: $( v1)/(v2) =( sqrt (2))/2 $ che è circa 0.71. Decisamente lontano dal 2 del libro...

Qualcuno sa spiegarmi i due misteri?

[Silente]

\(\displaystyle \mbox{E}_{1}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv_{!}^{2} \)
\(\displaystyle \mbox{E}_{2}=\frac{1}{2}k\left( 2x \right)^{2}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2} \)

\(\displaystyle \frac{v_{2}}{v_{1}}=\sqrt{4}=2 \)