Frase libro poco chiara (energia meccanica)
Salve, c'è questa cosa che continua a non essermi chiara.
Abbiamo per semplicità due punti materiali. Se in un certo intervallo di tempo $Delta t$ su ognuno di questi due punti agisce una forza conservativa, allora esisterà per ognuno dei due punti materiali una funzione della sola posizione, detta energia potenziale, e l'energia meccanica di ogni punto (pari alla somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica) è costante. Dunque, se definisco energia potenziale del sistema la somma delle energie potenziali dei singoli componenti ed analogamente per l'energia cinetica, posso dire che in questo sistema di due punti materiali l'energia meccanica totale (somma dell'energia potenziale totale e cinetica totale) si conserva.
Fin qui va bene?
Ora non riesco a spiegarmi questa frase più volte ribadita dal mio libro:
"Se tutte le forze, esterne ed interne, agenti su un sistema di punti materiali sono conservative, l'energia meccanica si conserva (ok).
Si osservi che tale teorema di conservazione si riferisce all'ammontare dell'energia meccanica dell'intero sistema, mentre l'ammontare relativo ad una singola parte di questo non necessariamente si conserva (ma se abbiamo detto che le forze agenti su ogni punto sono conservative, come è possibile?).
Per un sistema di punti materiali la conservazione dell'energia meccanica è di validità globale e non locale".
Abbiamo per semplicità due punti materiali. Se in un certo intervallo di tempo $Delta t$ su ognuno di questi due punti agisce una forza conservativa, allora esisterà per ognuno dei due punti materiali una funzione della sola posizione, detta energia potenziale, e l'energia meccanica di ogni punto (pari alla somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica) è costante. Dunque, se definisco energia potenziale del sistema la somma delle energie potenziali dei singoli componenti ed analogamente per l'energia cinetica, posso dire che in questo sistema di due punti materiali l'energia meccanica totale (somma dell'energia potenziale totale e cinetica totale) si conserva.
Fin qui va bene?
Ora non riesco a spiegarmi questa frase più volte ribadita dal mio libro:
"Se tutte le forze, esterne ed interne, agenti su un sistema di punti materiali sono conservative, l'energia meccanica si conserva (ok).
Si osservi che tale teorema di conservazione si riferisce all'ammontare dell'energia meccanica dell'intero sistema, mentre l'ammontare relativo ad una singola parte di questo non necessariamente si conserva (ma se abbiamo detto che le forze agenti su ogni punto sono conservative, come è possibile?).
Per un sistema di punti materiali la conservazione dell'energia meccanica è di validità globale e non locale".
Risposte
Considera un corpo rigido, una barretta ad esempio che si muove senza attrito su un piano di moto di pura traslazione avente velocità normale alla lunghezza della barretta. Supponi che questa barretta va ad impattare con un suo estremo su una molla, l'estremo della barretta sarà frenato e se andiamo a considerare l'energia meccanica dei punti attorno all'estremo, più l'energia meccanica della molla, vedremmo che l'energia meccanica, tra prima e dopo il contatto con la molla, del sistema punti estremi della barretta più molla non si conserva. Si conserva invece l'energia meccanica di tutta la barretta più la molla. Infatti l'unica che compie lavoro è data dalla forza elastica della molla e tale forza è conservativa.
Pensa a due punti materiali in caduta libera attaccati da una molla. Se la molla non ci fosse l'energia dei due punti si conserverebbe separatamente, ma se "accendi" la molla allora questa fa si che lo stato di moto di uno dei due punti influenzi l'altro e quindi il bilancio energetico cambia. In maniera un po' pittoresca puoi pensare alla molla come a quella cosa che è in grado di spostare energia da un punto materiale all'altro conservando però l'energia totale.
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Personalmente, ma forse è una questione di gusti, non concordo con l'ultima frase
in quanto i concetti di locale e globale sono propri dei sistemi continui e i principi di conservazione locale/globale sono espressi dal punto di vista matematico e intesi da quello fisico in tutt'altro modo. Secondo me per un sistema di punti materiali sarebbe più preciso affermare che il principio di conservazione dell'energia è di validità collettiva ma non individuale.
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Personalmente, ma forse è una questione di gusti, non concordo con l'ultima frase
"lisdap":
Per un sistema di punti materiali la conservazione dell'energia meccanica è di validità globale e non locale".
in quanto i concetti di locale e globale sono propri dei sistemi continui e i principi di conservazione locale/globale sono espressi dal punto di vista matematico e intesi da quello fisico in tutt'altro modo. Secondo me per un sistema di punti materiali sarebbe più preciso affermare che il principio di conservazione dell'energia è di validità collettiva ma non individuale.
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Allora, su una delle due particelle agiscono la forza peso, che è conservativa, e la forza elastica, che è conservativa. Il lavoro totale relativo ad uno di questi due punti fatto dalle due forze equivale alla somma dei lavori fatti dalle singole forze, cioè il lavoro della forza peso ed il lavoro della forza elastica. Il lavoro della forza peso relativo alla particella $1$ è $U_A-U_B$, dove $A$ e $B$ sono gli estremi della traiettoria; il lavoro fatto dalla forza elastica sul punto $1$ è $U_(el,A)-U_(el,B)$. Quindi il lavoro totale fatto dalle forze che agiscono sul punto $1$ è: $(U_A-U_B)+(U_(el,A)-U_(el,B))=E_(k,B)-E_(k,A)$, dove l'ultimo membro è la variazione di energia cinetica del punto $1$.
Ora quello che possiamo scrivere è che $U_A+U_(el,A)+E_(k,A)=U_B+U_(el,B)+E_(k,B)$ nell'istante iniziale e nell'istante finale, però non è vero che per il punto $1$ la quantità $U+U_(el)+E_k$ è costante durante tutto il moto.
Insomma, se un punto materiale è sottoposto a due forze conservative non è vero che la forza risultante è conservativa. Va bene fin qui?
Grazie mille.
Ora quello che possiamo scrivere è che $U_A+U_(el,A)+E_(k,A)=U_B+U_(el,B)+E_(k,B)$ nell'istante iniziale e nell'istante finale, però non è vero che per il punto $1$ la quantità $U+U_(el)+E_k$ è costante durante tutto il moto.
Insomma, se un punto materiale è sottoposto a due forze conservative non è vero che la forza risultante è conservativa. Va bene fin qui?
Grazie mille.
Qui puoi trovare una differente definizione di sistema di forze conservativo, dovrebbe servire a chiarirti le idee
http://www.dma.unifi.it/~frosali/didattic/commec/dispense/cmr_1a.pdf
2.5.1 "Caso di forze conservative"
http://www.dma.unifi.it/~frosali/didattic/commec/dispense/cmr_1a.pdf
2.5.1 "Caso di forze conservative"
Insomma si può dire che una combinazione di due forze conservative non è conservativa?
Se con combinazione intendi somma allora la frase che hai riportato non è esatta. La somma di due forze conservative è sempre conservativa. Il punto è che se hai una forza interna non puoi scomporre l'energia potenziale totale nella somma di due contributi e vedere se si conservano. Prendiamo l'esempio di prima. I contributi all'energia sono:
- energia potenziale di gravità del corpo $A$ di massa $m_A$
$U_{g,A} = m_A g y_A$
- energia potenziale di gravità del corpo $B$ di massa $m_B$
$U_{g,B} = m_B g y_B$
- energia potenziale elastica della molla
$U_{k} = \frac{1}{2} k (x_A - x_B)^2$
Quindi vedi che il contributo della molla non potrai mai scriverlo come la somma di due "pezzi", uno per ciascun corpo. Perciò in un contesto del genere non riesci neanche a definire una nozione di energia potenziale di un singolo corpo, perchè l'energia dipende anche dalla posizione dell'altro. Più chiaro ora?
- energia potenziale di gravità del corpo $A$ di massa $m_A$
$U_{g,A} = m_A g y_A$
- energia potenziale di gravità del corpo $B$ di massa $m_B$
$U_{g,B} = m_B g y_B$
- energia potenziale elastica della molla
$U_{k} = \frac{1}{2} k (x_A - x_B)^2$
Quindi vedi che il contributo della molla non potrai mai scriverlo come la somma di due "pezzi", uno per ciascun corpo. Perciò in un contesto del genere non riesci neanche a definire una nozione di energia potenziale di un singolo corpo, perchè l'energia dipende anche dalla posizione dell'altro. Più chiaro ora?
"lisdap":
Insomma si può dire che una combinazione di due forze conservative non è conservativa?
Metterei la domanda in questa maniera. Possono esserci sistemi di forze conservativi le cui forze non corrispondono alla definizione di forza conservativa?
Le forze conservative sono un caso particolare di sistema di forze conservativo. Per esempio, se consideriamo la forza peso che agisce su un punto materiale in caduta libera sulla terra, descrivendo il moto nel sistema di riferimento solidale alla terra stessa, ammesso che la massa sia trascurabile rispetto a quella della terra (altrimenti in generale la caduta non sarebbe libera), questa è conservativa. Se consideriamo un qualsiasi altro sistema di riferimento in moto almeno di traslazione rispetto a quello terrestre, allora la forza peso che la terra esercita sul punto materiale non è più conservativa, perchè dipende anche dallo spostamento del sistema rispetto al sistema di riferimento terrestre, quindi non dipende più solo dalla posizione, condizione necessaria perchè sia conservativa.
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