Forze gravitazionali
Tre punti materiali di masse $m_1=m_2=m_3=m$, posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l, vengono lasciati liberi di muoversi sotto l'azione delle loro attrazioni gravitazionali. Nell'istante in cui i tre punti materiali costituiscono i vertici di un triangolo equilatero di lato $l/2$, quanto vale il modulo della velocità dei punti?
Risultato del libro: $sqrt((2mG)/l)$
Mio risultato: $sqrt((6mG)/l)$
Per giungere alla soluzione ho applicato il teorema delle forze vive (variazione di energia cinetica= lavoro delle forze) tenendo conto del fatto che
i) all'inizio è tutto fermo e le velocità sono nulle
ii) il sisterma è simmetrico e quindi è sufficiente concentrarsi su uno solo dei punti e calcolarsi il lavoro delle forze che agiscono su di esso
Risultato del libro: $sqrt((2mG)/l)$
Mio risultato: $sqrt((6mG)/l)$
Per giungere alla soluzione ho applicato il teorema delle forze vive (variazione di energia cinetica= lavoro delle forze) tenendo conto del fatto che
i) all'inizio è tutto fermo e le velocità sono nulle
ii) il sisterma è simmetrico e quindi è sufficiente concentrarsi su uno solo dei punti e calcolarsi il lavoro delle forze che agiscono su di esso
Risposte
Ti conviene applicare la conservazione dell'energia, se non è esplicitamente richiesto un metodo diverso. L'energia iniziale ha solo un termine potenziale $-frac{3Gm^2}{l}$ (è la somma delle singole energie potenziali delle tre coppie di particelle che puoi formare), mentre quella finale è $frac{3}{2}mv^2-frac{6Gm^2}{l}$. Eguagliando i due valori e risolvendo $v$ ottieni la soluzione.
In generale l'energia di un sistema di tre corpi che si attraggono per mezzo di forze gravitazionali si scrive $E = 1/2m_1v_1^2 + 1/2m_2v_2^2 + 1/2m_3v_3^2 - {Gm_1m_2}/{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|} - {Gm_1m_3}/{|\vec{r_1}-\vec{r_3}|} - {Gm_2m_3}/{|\vec{r_2}-\vec{r_3}|}$.
Nel tuo caso all'istante iniziale i corpi si trovano con velocità nulla a distanza $l$ e quindi $E_i = - {3Gm^2}/l$.
All'istante finale invece si trovano a velocità $v$ a distanza $l/2$ e quindi $E_f = 3/2mv^2 - {3Gm^2}/{l/2}$.
Uguagliando le due espressioni per la conservazione dell'energia si ottiene $v=\sqrt{{2Gm}/l}$.
Edit: Preceduto da Cmax.
Nel tuo caso all'istante iniziale i corpi si trovano con velocità nulla a distanza $l$ e quindi $E_i = - {3Gm^2}/l$.
All'istante finale invece si trovano a velocità $v$ a distanza $l/2$ e quindi $E_f = 3/2mv^2 - {3Gm^2}/{l/2}$.
Uguagliando le due espressioni per la conservazione dell'energia si ottiene $v=\sqrt{{2Gm}/l}$.
Edit: Preceduto da Cmax.
Ok, spero di aver capito...
Ve ne posto un'altro dello stesso genere.
Due punti materiali di masse uguali si muovono nel piano xy sotto la sola azione delle reciproche forze di interazione. All'inizio lo stato del sistema è il seguente: $P_1(0)=(l,0) P_2(0)=(0,-l), v_1(0)=(0, v_0), v_2(0)=(0, -v_0).$ Ad un certo istante abbiamo $P_1(t)=(0,l/2) P_2(t)=(l,-(3l)/2), v_1(t)=(V,0), v_2(t)=(-V,0)$
Si vuole trovare il valore di V.
Ora io so che l'energia si conserva quindi scrivo che
$1/2m(v_0)^2+1/2m(v_0)^2-Gm^2/(l sqrt2)= 1/2m(V)^2+1/2m(V)^2-Gm^2/(l sqrt5)$ e di qui risolvo rispetto a V ottenendo
$V= sqrt((v_0)^2+ Gm/l(1/sqrt 5-1/sqrt2))$
(il risultato del libro è scandalosamente più semplice, ma vorrei sapere se almeno i passaggi fin qui sono giusti...)
Ve ne posto un'altro dello stesso genere.
Due punti materiali di masse uguali si muovono nel piano xy sotto la sola azione delle reciproche forze di interazione. All'inizio lo stato del sistema è il seguente: $P_1(0)=(l,0) P_2(0)=(0,-l), v_1(0)=(0, v_0), v_2(0)=(0, -v_0).$ Ad un certo istante abbiamo $P_1(t)=(0,l/2) P_2(t)=(l,-(3l)/2), v_1(t)=(V,0), v_2(t)=(-V,0)$
Si vuole trovare il valore di V.
Ora io so che l'energia si conserva quindi scrivo che
$1/2m(v_0)^2+1/2m(v_0)^2-Gm^2/(l sqrt2)= 1/2m(V)^2+1/2m(V)^2-Gm^2/(l sqrt5)$ e di qui risolvo rispetto a V ottenendo
$V= sqrt((v_0)^2+ Gm/l(1/sqrt 5-1/sqrt2))$
(il risultato del libro è scandalosamente più semplice, ma vorrei sapere se almeno i passaggi fin qui sono giusti...)
Da come hai scritto il testo direi che i due corpi alla fine si trovano a distanza $2l$.
Per il resto mi sembra corretto.
Per il resto mi sembra corretto.
Pardon, ho editato... le coordinate di $P_2(t)$ sono $(l, -3/2l)$
Allora direi che è corretto. Qual è il risultato del libro?
$-1/2v_0$ 
il segno meno proprio non saprei cavarlo fuori da considerazioni puramente energetiche
il segno meno proprio non saprei cavarlo fuori da considerazioni puramente energetiche
Il risultato mi sembra anomalo. Sicuro che il testo sia esattamente questo e che non ci siano altri dati?
"Sergio Rosati":
Due punti materiali di masse uguali si muovono nel piano xy sotto la sola azione della reciproche forze di interazione. All'istante t=0 lo stato del sistema è il seguente: $P_1(0)=(l,0), v_1(0)=(0, v_0), P_2(0)=(0,-l), v_2(0)=(0, -v_0)$. Se a un certo istante è $P_1(t)=(0,l/2), v_1(t)=(V,0)$, quanto vale la posizione di $P_2$ [fatto in base a semplici considerazioni sul centro di massa] e quanto vale V?
Un esercizio del Rosati, il mio libro di Fisica 1. Ah, nostalgia.
Supponendo che l'interazione tra le particelle sia di tipo centrale, e non occorre specificarne la forma, il momento angolare si conserva.
In modo becero, calcoliamolo rispetto al CM:
$L_i = m([l/2,-l/2,0]-[l,0,0])X[0,v_0,0] + m(-[l/2,-l/2,0]-[0,-l,0])X[0,-v_0,0] = -m\hat{k}lv_0$, e
$L_f = m([l/2,-l/2,0]-[0,l/2,0])X[V,0,0] + m([l/2,-l/2,0]- [l,-3l/2,0])X[-V,0,0] = m\hat{k}2lV$,
da cui $V = -v_0/2$
Supponendo che l'interazione tra le particelle sia di tipo centrale, e non occorre specificarne la forma, il momento angolare si conserva.
In modo becero, calcoliamolo rispetto al CM:
$L_i = m([l/2,-l/2,0]-[l,0,0])X[0,v_0,0] + m(-[l/2,-l/2,0]-[0,-l,0])X[0,-v_0,0] = -m\hat{k}lv_0$, e
$L_f = m([l/2,-l/2,0]-[0,l/2,0])X[V,0,0] + m([l/2,-l/2,0]- [l,-3l/2,0])X[-V,0,0] = m\hat{k}2lV$,
da cui $V = -v_0/2$
Il buon vecchio momento angolare, non lo considero mai nei momenti difficili. Chino il capo umilmente. 
anch'io...
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