Forze di superficie con tensore di sforzo

[Maxandri1]

Ciao a tutti,
devo calcolare la forza di superficie, la trazione normale e la trazione di taglio su un piano di equazione x-2y+2z=0 con un tensore di sforzo pari a
\begin{bmatrix}
1 &2 &3 \\
2 &2 &1 \\
3 &1 &1
\end{bmatrix}
Come devo procedere? Grazie

[Quinzio]

Non e' sufficiente moltiplicare la matrice per il vettore normale al piano (normalizzato), ovvero ${(1, -2, 2)}/3$ ?

Si ottiene $(1,0,1)$ quindi la trazione e' 1 e il taglio e' 1 ?

[Maxandri1]

Mah, la matrice è simmetrica ma non sono sicuro che il procedimento sia corretto perchè trazione normale e di taglio non sono sempre uguali. In ogni caso mi resta il calcolo della forza, che è un integrale della matrice x n (direzione) integrato sul piano. Non ricordo come si fanno questi integrali

[Faussone]

"Maxandri":Mah, la matrice è simmetrica ma non sono sicuro che il procedimento sia corretto perchè trazione normale e di taglio non sono sempre uguali. In ogni caso mi resta il calcolo della forza, che è un integrale della matrice x n (direzione) integrato sul piano. Non ricordo come si fanno questi integrali

Ma non c'entra il fatto che la matrice è simmetrica col fatto che in questo caso sforzo normale e taglio sono uguali, è solo una coincidenza.
Il calcolo della forza è semplice basta moltiplicare lo sforzo trovato per la superficie (si suppone che il tensore sia costante qui credo).

[Noodles1]

"Quinzio":
Non è sufficiente ...

Non basta perchè:

$[[1,2,3],[2,2,1],[3,1,1]]*[[1/3],[-2/3],[2/3]]=[[1],[0],[1]]$

sono le componenti dello sforzo totale rispetto al sistema di riferimento adottato. Per concludere è necessario selezionare la componente normale al piano:

$[[1/3,-2/3,2/3]]*[[1],[0],[1]]=1 rarr$

$rarr |\sigma|=1$

e quella tangente:

$[[1],[0],[1]]-1*[[1/3],[-2/3],[2/3]]=[[2/3],[2/3],[1/3]] rarr$

$rarr |\tau|=sqrt((2/3)^2+(2/3)^2+(1/3)^2)=1$

Allego un paio di immagini:

in cui:

$vec(p_n)=[[1,2,3],[2,2,1],[3,1,1]]*[[1/3],[-2/3],[2/3]]=[[1],[0],[1]]$

In defintiva, anche se i tuoi risultati, per quanto riguarda i moduli, sono numericamente corretti, in assenza di ulteriori argomentazioni mi verrebbe da dire che si tratti di un puro caso.

[Faussone]

"Noodles":
In defintiva, anche se i tuoi risultati, per quanto riguarda i moduli, sono numericamente corretti, in assenza di ulteriori argomentazioni mi verrebbe da dire che si tratti di un puro caso.

Questa affermazione mi pare azzardata.
Anche io avevo fatto i conti.
In realtà il calcolo dello sforzo normale è semplicissimo: basta fare appunto il prodotto scalare del vettore dello sforzo, calcolato tramite prodotto matrice vettore, con il versore normale al piano, anche quello noto, mentre il taglio si trova banalmente dal teorema di Pitagora noti i moduli dello sforzo e dello sforzo normale appena calcolato.
Insomma i conti a veder bene sono semplici avendo le idee chiare, anche se il ragionamento dietro presuppone aver compreso alcuni concetti.
Non mi pare affatto sia strano Quinzio abbia fatto queste deduzioni, ma se vorrà ci dirà lui.

Anche io avrei voluto esplicitare meglio, ma aspettavo una reazione di Maxandri per commentare.

[Noodles1]

"Faussone":
... ma aspettavo una reazione di Maxandri per commentare.

Concordo. Non era mio intento fare il saputo. Volevo solo anticipare prevedibili sviluppi.

P.S.
Grazie per aver chiuso quella discussione.