Forze conservative in una dimensione
Salve a tutti ho un dubbio su questo argomento di fisica.
Voglio capire perché in una dimensione le forze che dipendono dalla posizione sono sempre conservative,magari anche con una spiegazione un pochino più rigorosa.
Voglio capire perché in una dimensione le forze che dipendono dalla posizione sono sempre conservative,magari anche con una spiegazione un pochino più rigorosa.
Risposte
Anzitutto, ricordo che se \(F\) è un campo vettoriale esso si dice conservativo se \(F=\nabla U\) per qualche funzione \(U\), regolare a seconda delle richieste (noi le supponiamo \(\mathcal{C}^\infty\) perché siamo fisici).
Ora, i campi vettoriali su \(X\) (=le sezioni del suo fibrato tangente raccolte nello spazio \(\mathfrak{V}(X)\)) corrispondono alle forme differenziali su \(X\) (=le sezioni del suo fibrato cotangente raccolte nello spazio \(\Omega^1(X)\)) mediante l'isomorfismo
\[
\sharp : TX \to T^*X
\] in modo che \(\nabla U = (d\omega_U)^\sharp\) per un'unica forma differenziale \(\omega_U\) che si dice la forma differenziale "associata" ad \(U\). Ovviamente "in coordinate" non cambia molto ai coefficienti di \(\omega_U\): si tratta di scrivere, in una opportuna carta locale,
\[
\nabla U = \sum_{i=0}^d \frac{\partial U_i}{\partial x_i}\underline{x}_i\qquad\qquad
d\omega_U = \sum_{i=0}^d \frac{\partial U_i}{\partial x_i}\underline{dx}_i
\] Tanto più che nel caso che ci interessa, ovvero quello delle 0-forme, entrambi gli spazi si identificano canonicamente a \(\mathcal{C}^\infty(X)\) (lo spazio delle funzioni \(\mathcal C^\infty\) su \(X\)), cosicché essi sono canonicamente isomorfi tra loro.
Ora, è importante notare che in tale identificazione l'operatore gradiente corrisponde alla derivazione esterna di una forma: è ancora l'uguaglianza \(\nabla U = (d\omega_U)^\sharp\) letta nella commutatività del quadrato
\[
\begin{CD}
\Omega^0(X) @= \mathcal{C}^\infty(X)\\
@VdVV @VV\nabla V\\
\Omega^1(X) @>>> \mathfrak{V}(X)
\end{CD}
\] Questo isomorfismo permette di rileggere la condizione di conservatività per $U$ come una condizione di esattezza per \(\omega_U\), nel senso che \(F\) è conservativo (cioè \(F=\nabla U\)) se e solo se \(\omega_F\) è esatta (cioè \(\omega_F = d\omega_U\)). Il complesso di de Rham di $X$ ora inizia con
\[
\begin{CD}
0 @>>> \Omega^0(X) @>d_0>> \Omega^1(X) @>d_1>> \Omega^2(X) @>>> \dots
\end{CD}
\] e la condizione che "tutti i campi siano conservativi" equivale, riletta nelle forme, alla condizione che "tutte le 1-forme siano esatte", ovvero che \(\text{im }d_0 = \Omega^1(X)\). Dato che questo è un complesso di cocatene deve però aversi \(\text{im } d_0 \subseteq \ker d_1\), e la condizione che tutte le 1-forme siano esatte deve allora tradursi in "\(\ker d_1 = \Omega^1(X)\)", ovvero in "\(d_1\) è la mappa zero". Questa è una condizione sufficiente (più generale di quella che vuoi tu) affinché tutti i campi vettoriali su \(X\) siano conservativi. Ora, nel caso particolare che ti interessa, \(X\) ha dimensione 1, sicché \(\Omega^2(X)=0\), cosa che implica che \(d_1=0\). \(\square\)
Ora, i campi vettoriali su \(X\) (=le sezioni del suo fibrato tangente raccolte nello spazio \(\mathfrak{V}(X)\)) corrispondono alle forme differenziali su \(X\) (=le sezioni del suo fibrato cotangente raccolte nello spazio \(\Omega^1(X)\)) mediante l'isomorfismo
\[
\sharp : TX \to T^*X
\] in modo che \(\nabla U = (d\omega_U)^\sharp\) per un'unica forma differenziale \(\omega_U\) che si dice la forma differenziale "associata" ad \(U\). Ovviamente "in coordinate" non cambia molto ai coefficienti di \(\omega_U\): si tratta di scrivere, in una opportuna carta locale,
\[
\nabla U = \sum_{i=0}^d \frac{\partial U_i}{\partial x_i}\underline{x}_i\qquad\qquad
d\omega_U = \sum_{i=0}^d \frac{\partial U_i}{\partial x_i}\underline{dx}_i
\] Tanto più che nel caso che ci interessa, ovvero quello delle 0-forme, entrambi gli spazi si identificano canonicamente a \(\mathcal{C}^\infty(X)\) (lo spazio delle funzioni \(\mathcal C^\infty\) su \(X\)), cosicché essi sono canonicamente isomorfi tra loro.
Ora, è importante notare che in tale identificazione l'operatore gradiente corrisponde alla derivazione esterna di una forma: è ancora l'uguaglianza \(\nabla U = (d\omega_U)^\sharp\) letta nella commutatività del quadrato
\[
\begin{CD}
\Omega^0(X) @= \mathcal{C}^\infty(X)\\
@VdVV @VV\nabla V\\
\Omega^1(X) @>>> \mathfrak{V}(X)
\end{CD}
\] Questo isomorfismo permette di rileggere la condizione di conservatività per $U$ come una condizione di esattezza per \(\omega_U\), nel senso che \(F\) è conservativo (cioè \(F=\nabla U\)) se e solo se \(\omega_F\) è esatta (cioè \(\omega_F = d\omega_U\)). Il complesso di de Rham di $X$ ora inizia con
\[
\begin{CD}
0 @>>> \Omega^0(X) @>d_0>> \Omega^1(X) @>d_1>> \Omega^2(X) @>>> \dots
\end{CD}
\] e la condizione che "tutti i campi siano conservativi" equivale, riletta nelle forme, alla condizione che "tutte le 1-forme siano esatte", ovvero che \(\text{im }d_0 = \Omega^1(X)\). Dato che questo è un complesso di cocatene deve però aversi \(\text{im } d_0 \subseteq \ker d_1\), e la condizione che tutte le 1-forme siano esatte deve allora tradursi in "\(\ker d_1 = \Omega^1(X)\)", ovvero in "\(d_1\) è la mappa zero". Questa è una condizione sufficiente (più generale di quella che vuoi tu) affinché tutti i campi vettoriali su \(X\) siano conservativi. Ora, nel caso particolare che ti interessa, \(X\) ha dimensione 1, sicché \(\Omega^2(X)=0\), cosa che implica che \(d_1=0\). \(\square\)
@killing_buddha
[ot]Certo che se l' è cercata, voleva la dimostrazione "un pochino più rigorosa"
[/ot]
[ot]Certo che se l' è cercata, voleva la dimostrazione "un pochino più rigorosa"
[/ot]
"Formale, o non formale, non c'è provare". (Yo(ne)da)
Grazie per la disponibilità.Non immaginavo fosse così complicata.
Questo è un modo di vederlo, il più profondo che mi viene in mente, e ha il pregio di mostrare che il risultato vale più in generale di quel che credi (o di quel che un argomenti fisico "dimostrerebbe").
Se volessimo usare un formalismo diverso ,per esempio se si volesse spiegarlo in un corso di ingegneria come si potrebbe enunciare ?
Dalla definizione di conservatività hai che una forza $F(x)$ è conservativa se esiste una funzione $U(x)$ tale che $F(x)=(dU)/(dx)$...chiaramente questa cosa è sempre vera, basta prendere $U(x)=int_(x_0)^(x)F(t)dt$, quindi in una dimensione un campo di forze è sempre conservativo.
"Vulplasir":
Dalla definizione di conservatività hai che una forza $F(x)$ è conservativa se esiste una funzione $U(x)$ tale che $F(x)=(dU)/(dx)$...chiaramente questa cosa è sempre vera, basta prendere $U(x)=int_(x_0)^(x)F(t)dt$, quindi in una dimensione un campo di forze è sempre conservativo.
Ma questo argomento sta segretamente usando il lemma di Poincaré: ogni forma chiusa è localmente esatta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo