Forza su una spira quadrata

[Parlu10]

Buonasera, chiedo qui perché ho problemi nello svolgere questo esercizio:

Una spira quadrata di lato a = 1 cm, percorsa da una corrente I = 1 mA circolante in verso antiorario, è disposta col centro nell'origine del piano (x,y) e con i lati paralleli agli assi. Nello spazio è presente un campo B di componenti Bx = By = 0, Bz = B0 (1 + y/a) con B0 = 1 mT. Determinare intensità, direzione e verso della forza agente sulla spira.



Avevo pensato di impostarlo usando la seconda legge di Laplace

$ dF= i dl xx B $

Per prima cosa avevo pensato di scomporre l'integrale per trovare i 4 lati, poi avevo pensato di fare un unico integrale su tutto il quadrato, per poi trovare 4a (perimetro del quadrato). In entrambi i casi mi esce quindi come F: $ 4IaB_0(1+y/a) $.
Però la soluzione mi dice che F va nella direzione y e vale $ IaB_0 $. Come posso arrivare a questa soluzione?

[RenzoDF]

Ci puoi arrivare ricordando che la forza è pari a meno il gradiente dell'energia potenziale ...

... che, indicato con $\vec \mu$ il momento magnerico, sarà esprimibile come $U=-\vec\mu \cdot \vec B$ e quindi

$\vec F=\nabla (\vec\mu \cdot \vec B)$

[ingres]

Oltre che come suggerito da Renzo, puoi arrivarci anche con la formula $dF = i*dl ^^ B$, però devi impostare correttamente il calcolo.

lato destro e sinistro
siccome non c'è variazione in direzione x il campo $B$ varia allo stesso modo nei 2 lati, ma il $dl$, che segue il verso della corrente, è opposto, per cui le due forze si elidono.

lato superiore e inferiore
il campo nel lato superiore vale $B_1=3/2B_0$, in quello inferiore $B_2 = 1/2B_0$. Quindi la forza complessiva netta sarà:

$F= I*a*(B_1-B_2) =I*a*B_0$

diretto verso l'asse positivo delle y perchè il campo e quindi la forza nel lato superiore è predominante.

[Parlu10]

Ho capito, era più semplice di quel che credevo.
Grazie mille per l'aiuto!