Forza su una carica, densità di carica semicirconferenza
Un ultimo aiutino con questo esercizio? 
Una sbarretta piegata con cariche positive forma una semicirconferenza di raggio R=60 cm. La carica per unità di lunghezza lungo la semicirconferenza dipenda dall'angolo θ definito dalla relazione λ=λ(0)cos(θ). La carica totale sulla semicirconferenza è 12 uC. Si calcoli la forza su una carica di 3 uC he si trova al centro della semicirconferenza. Pria domanda: devo calcolare la forza nel punto P giusto?
Vi allego la figura
Io ho pensato di calcolare prima λ = Q/ ( R *π ) = 6,37 *10-6
poi il campo elettrico E= K*λ/ R^2
E poi la forza F= q*E
Solo che non mi esce.. dov'è che sbaglio? dovrebbe uscire -0,706 i N
Perchè è negativa?
Una sbarretta piegata con cariche positive forma una semicirconferenza di raggio R=60 cm. La carica per unità di lunghezza lungo la semicirconferenza dipenda dall'angolo θ definito dalla relazione λ=λ(0)cos(θ). La carica totale sulla semicirconferenza è 12 uC. Si calcoli la forza su una carica di 3 uC he si trova al centro della semicirconferenza. Pria domanda: devo calcolare la forza nel punto P giusto?
Vi allego la figura
Io ho pensato di calcolare prima λ = Q/ ( R *π ) = 6,37 *10-6
poi il campo elettrico E= K*λ/ R^2
E poi la forza F= q*E
Solo che non mi esce.. dov'è che sbaglio? dovrebbe uscire -0,706 i N
Perchè è negativa?
Risposte
"kettyslash":
... Pria domanda: devo calcolare la forza nel punto P giusto?
Devi determinare la forza su q (che si trova sul punto P) e per calcolarla dovrai andare a sommare vettorialmente le forze infinitesime sulla carica $q$ dovute alla frazione infinitesima di carica relativa ad una frazione infinitesima di circonferenza.
Somma vettoriale che però, grazie alla simmetria della distribuzione di carica, ...
"kettyslash":
... Io ho pensato di calcolare prima λ = Q/ ( R *π ) = 6,37 *10-6 ...
No, la carica non è distribuita uniformenente.
"kettyslash":
...
poi il campo elettrico E= K*λ/ R^2
No, non puoi usare una densità di carica nella determinazione del campo; sarebbe già dimensionalmente errato-
Per prima cosa vai a determinarti $\lambda_0$ per via integrale, usando la carica complessiva nota, poi passiamo alla forza.
Un aiutino per partire? D:
Nell'ultima riga un aiuto mi sembrava di avertelo dato, devi andare ad integrare la densità di carica lungo la semicirconferenza per $\theta$ cha va da $-\pi/2$ a $\pi/2$ ed uguagliare questo integrale alla carica totale nota di 12uC, al fine di determinare la costante $\lambda(0)$.
Per semplicità considera il punto in cui vuoi determinare il campo (ovvero l'origine, in cui si trova la carica), perciò
$\vecr=(0,0)$
Poi determini il vettore posizione della distribuzione di carica, la quale varia secondo un angolo $\theta$, quindi $\vecr'=(R\cos\theta,R\sin\theta)$
Ed utilizzi la definizione di campo elettrostatico, calcolandone le componenti.
$\vecr=(0,0)$
Poi determini il vettore posizione della distribuzione di carica, la quale varia secondo un angolo $\theta$, quindi $\vecr'=(R\cos\theta,R\sin\theta)$
Ed utilizzi la definizione di campo elettrostatico, calcolandone le componenti.
Probabilmente ho delle difficoltà perchè esercizi così non ne ho mai fatto ne trattati in classe, di solito usavamo distribuzioni di carica uniformi, ma tentar non nuoce. a me viene zero perchè l'integrale del coseno è il seno e in quei due punti fa zero?
ma non credo sia una soluzione accettabile
ma non credo sia una soluzione accettabile
Non vedo come possa "fare" zero, ma se non ti va di postarlo ... Amen! 
il seno di 0 e pigreco non è zero?
Per definizione il campo elettrostatico è dettato da questa forma vettoriale.
$\vecE_0=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda dl)/(|\vecr-\vecr'|^3)(\vecr-\vecr')$
$\vecr-\vecr'=(0,0)-(R\cos\theta,R\sin\theta)=(-R\cos\theta,-R\sin\theta)$
$|\vecr-\vecr'|=sqrt((-R\cos\theta)^2+(-R\sin\theta)^2)=sqrt(R^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta))=sqrt(R^2(1))=R$
Nel nostro caso (quindi il campo generato in P) è dato dalla relazione:
$\vecE_0(P)=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda dl)/(R^3)(-R\cos\theta, -R\sin\theta)$
Scomponendo il vettore nelle proprie componenti:
$E_x=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda(-R\cos\theta))/R^3dl$
$E_y=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda(-R\sin\theta))/R^3dl$
e così via... poi non credo diventi difficile svolgerlo
$\vecE_0=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda dl)/(|\vecr-\vecr'|^3)(\vecr-\vecr')$
$\vecr-\vecr'=(0,0)-(R\cos\theta,R\sin\theta)=(-R\cos\theta,-R\sin\theta)$
$|\vecr-\vecr'|=sqrt((-R\cos\theta)^2+(-R\sin\theta)^2)=sqrt(R^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta))=sqrt(R^2(1))=R$
Nel nostro caso (quindi il campo generato in P) è dato dalla relazione:
$\vecE_0(P)=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda dl)/(R^3)(-R\cos\theta, -R\sin\theta)$
Scomponendo il vettore nelle proprie componenti:
$E_x=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda(-R\cos\theta))/R^3dl$
$E_y=1/(4\pi\epsi_0)int_(\gamma)(\lambda(-R\sin\theta))/R^3dl$
e così via... poi non credo diventi difficile svolgerlo
"kettyslash":
il seno di 0 e pigreco non è zero?
Gli estremi di integrazione non sono quelli (dai un occhio alla figura), e mi sembrava di averli indicati in precedenza.
Questo come procede?
Male ho fatto ciò che non dovevo fare, l'ho abbandonato perchè mi sono concentrata su altri esercizi più alla mia portata..
Scusa, ma bastava vedere che l'integrale del coseno da $-pi/2$ a $pi/2$ porta ad un 2 e quindi $\lambda(0)=Q/2=6\ \mu C$.
Dalla densità, scritta la forza elementare $dF$ su q, integrare la sua proiezione sull'asse y (visto che per la simmetria la forza ha componente nulla lungo x).
L'integrale da ricavare è quindi quello di un $\cos^2(\theta)$, sullo stesso intervallo, che come noto porta a 1/2
... e avresti finito in 5 minuti.
Dalla densità, scritta la forza elementare $dF$ su q, integrare la sua proiezione sull'asse y (visto che per la simmetria la forza ha componente nulla lungo x).
L'integrale da ricavare è quindi quello di un $\cos^2(\theta)$, sullo stesso intervallo, che come noto porta a 1/2
... e avresti finito in 5 minuti.
Ah.. capito, caspita che stupida.. ma perchè sono quelli gli estremi e non quelli che ho indicato io? 
"kettyslash":
.. ma perchè sono quelli gli estremi e non quelli che ho indicato io?
Perchè l'angolo $\theta$ presente nella definizione della densità di carica è quello riportato nella figura del testo e non puoi sceglierlo tu
... figura che ti avevo anche consigliato di riguardare.
aaa ok si ora ho capito!! Grazie! ora provo a finirlo! se vuoi guardare il toroide intanto.. a me non esce
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