Forza magnetica su filo
Un tratto di filo, avente la forma in figura con \(\displaystyle l=R \), è percorso da una corrente \(\displaystyle i \) ed è sottoposto all’azione di un campo magnetico \(\displaystyle B \) perpendicolare, uscente dal piano contenente il filo. Calcolare la forza \(\displaystyle F \) che agisce sul filo.
Questa è l'immagine più chiara che ho trovato in rete.
Sui tratti rettilinei riesco a trovare facilmente la forza ma sul tratto circolare non so come calcolare l'integrale: \(\displaystyle \int idS \wedge B\). Devo scomporre dS nel tratto lungo \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) o posso farne a meno?
Spero qualcuno mi aiuti,
Grazie
Questa è l'immagine più chiara che ho trovato in rete.
Sui tratti rettilinei riesco a trovare facilmente la forza ma sul tratto circolare non so come calcolare l'integrale: \(\displaystyle \int idS \wedge B\). Devo scomporre dS nel tratto lungo \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) o posso farne a meno?
Spero qualcuno mi aiuti,
Grazie
Risposte
$ds=Rd theta$
Semplicemente toi viene un integrale
$ int_0^(pi)iBRd theta $
Semplicemente toi viene un integrale
$ int_0^(pi)iBRd theta $
avevo già provato in termini di coordinare polari, ma poi mi esce come risultato \(\displaystyle iBR \pi \), invece la soluzione del libro riporta \(\displaystyle 2liB \), con \(\displaystyle l=R \). Come faccio a ricondurmi a quella forma?
Perché lungo l'arco devi considerare la componente verticale. Mi ha fregato, perché non mi sono accorto che il campo esce e le forze sono dirette verso il.basso. da cellulare non so scrivere le formule, dopo te la scrivo. Manca un seno nella integrale (componente della forza verso il basso). La sommatoria delle componenti orizzontali si annulla per simmetria
La forza è dovuta dalla forza di Lorentz:
$F=i\int_A^Bd\vecl xx \vec B_0 + i\int_B^C d\vecl xx \vecB_0 + i\int_C^D d\vecl xx \vecB_0$
nel tratto AB:
$i(d\vecl xx \vecB_0) = i|(\hat i,\hat j, \hat k),(dx,0,0),(0,0,B_0)|=\hat i(0)+\hat j(-iB_0dx)+\hat k(0)$
perciò la forza nel primo tratta è diretta solo lungo y (potevamo usare la regola della mano destra
)
la stessa Forza di Lorentz la ricaviamo nel tratto CD.
$F_y=-iB_0l$
Nel tratto BC invece:
$i(d\vecl xx \vecB_0) = i|(\hat i,\hat j, \hat k),(dx,dy,0),(0,0,B_0)|= i|(\hat i,\hat j, \hat k),(Rcos\thetad\theta,Rsin\thetad\theta,0),(0,0,B_0)|=\hat i(iB_0Rsin\thetad\theta)+\hat j(-iB_0Rcos\thetad\theta)+\hat k(0)$
La Forza di Lorentz agisce lungo x e y:
$F_x=\int_π^0 iB_0Rsin\thetad\theta=iB_0R|cos\theta|_0^π=-2iB_0R$ e poiché $R=l$ , $F_x=-2iB_0l$
$F_y=\int_π^0 iB_0Rcos\thetad\theta=iB_0R|sin\theta|_π^0=0$
Ora ritorniamo alla prima definizione della Forza di Lorentz totale:
$F=i\int_A^Bd\vecl xx \vec B_0 + i\int_B^C d\vecl xx \vecB_0 + i\int_C^D d\vecl xx \vecB_0$
scomposta nelle componenti vettoriali:
${(F_x=F_x^(AB) +F_x^(BC) +F_x^(CD)=0-2iB_0l+0=-2iB_0l),(F_y=F_y^(AB) + F_y^(BC) +F_y^(CD)=-iB_0l + 0 - iB_0l= -2iB_0l),(F_z=0):}$
Determiniamo il modulo della forza totale:
$|F_L|=sqrt((F_x)^2 +(F_y)^2 +(F_z)^2)=2iB_0l$
Ecco qui la soluzione che hai trovato
$F=i\int_A^Bd\vecl xx \vec B_0 + i\int_B^C d\vecl xx \vecB_0 + i\int_C^D d\vecl xx \vecB_0$
nel tratto AB:
$i(d\vecl xx \vecB_0) = i|(\hat i,\hat j, \hat k),(dx,0,0),(0,0,B_0)|=\hat i(0)+\hat j(-iB_0dx)+\hat k(0)$
perciò la forza nel primo tratta è diretta solo lungo y (potevamo usare la regola della mano destra
)la stessa Forza di Lorentz la ricaviamo nel tratto CD.
$F_y=-iB_0l$
Nel tratto BC invece:
$i(d\vecl xx \vecB_0) = i|(\hat i,\hat j, \hat k),(dx,dy,0),(0,0,B_0)|= i|(\hat i,\hat j, \hat k),(Rcos\thetad\theta,Rsin\thetad\theta,0),(0,0,B_0)|=\hat i(iB_0Rsin\thetad\theta)+\hat j(-iB_0Rcos\thetad\theta)+\hat k(0)$
La Forza di Lorentz agisce lungo x e y:
$F_x=\int_π^0 iB_0Rsin\thetad\theta=iB_0R|cos\theta|_0^π=-2iB_0R$ e poiché $R=l$ , $F_x=-2iB_0l$
$F_y=\int_π^0 iB_0Rcos\thetad\theta=iB_0R|sin\theta|_π^0=0$
Ora ritorniamo alla prima definizione della Forza di Lorentz totale:
$F=i\int_A^Bd\vecl xx \vec B_0 + i\int_B^C d\vecl xx \vecB_0 + i\int_C^D d\vecl xx \vecB_0$
scomposta nelle componenti vettoriali:
${(F_x=F_x^(AB) +F_x^(BC) +F_x^(CD)=0-2iB_0l+0=-2iB_0l),(F_y=F_y^(AB) + F_y^(BC) +F_y^(CD)=-iB_0l + 0 - iB_0l= -2iB_0l),(F_z=0):}$
Determiniamo il modulo della forza totale:
$|F_L|=sqrt((F_x)^2 +(F_y)^2 +(F_z)^2)=2iB_0l$
Ecco qui la soluzione che hai trovato
Mi sembra che non ci sei, hai fatto un errore da qualche parte.
I tratti orizzontali hanno 2 forze verticali negative (se y e diretto verso l'alto) pari a iBl ciascuna, quindi ok $-2iBl$.
L'arco invece e sottoposto a forze elementari di modulo $iBRd theta$ tutte dirette verso il centro dell'arco. L'integrale delle componenti orizzontali ($int_0^piiBRcos thetad theta$ e' nullo per simmetria (si vede subito, perche $intcos thetad theta =0$ tra 0 e 180),
L'integrale delle componenti verticali e' $-int_0^piiBRsin thetad theta=iBR(cospi-cos0)=-2iBR$.
In tutto allora la forza agente, inclusi i tratti orizzontali e' $4iBR$ rivolta verso il basso.
I tratti orizzontali hanno 2 forze verticali negative (se y e diretto verso l'alto) pari a iBl ciascuna, quindi ok $-2iBl$.
L'arco invece e sottoposto a forze elementari di modulo $iBRd theta$ tutte dirette verso il centro dell'arco. L'integrale delle componenti orizzontali ($int_0^piiBRcos thetad theta$ e' nullo per simmetria (si vede subito, perche $intcos thetad theta =0$ tra 0 e 180),
L'integrale delle componenti verticali e' $-int_0^piiBRsin thetad theta=iBR(cospi-cos0)=-2iBR$.
In tutto allora la forza agente, inclusi i tratti orizzontali e' $4iBR$ rivolta verso il basso.
Grazie ad entrambi... una solo cosa non mi torna @mdonatie: qual è l'angolo \(\displaystyle \theta \) che utilizzi nelle formule? perchè se è l'angolo che \(\displaystyle R \) forma con l'asse \(\displaystyle x \) allora non dovrebbero essere invertiti il \(\displaystyle cos \theta \) e \(\displaystyle sen \theta \) nelle formule che hai scritto?
"mdonatie":
La forza è dovuta dalla forza di Lorentz:
$F=i\int_A^Bd\vecl xx \vec B_0 + i\int_B^C d\vecl xx \vecB_0 + i\int_C^D d\vecl xx \vecB_0$
nel tratto AB:
$i(d\vecl xx \vecB_0) = i|(\hat i,\hat j, \hat k),(dx,0,0),(0,0,B_0)|=\hat i(0)+\hat j(-iB_0dx)+\hat k(0)$
perciò la forza nel primo tratta è diretta solo lungo y (potevamo usare la regola della mano destra
la stessa Forza di Lorentz la ricaviamo nel tratto CD.
$F_y=-iB_0l$
Nel tratto BC invece:
$i(d\vecl xx \vecB_0) = i|(\hat i,\hat j, \hat k),(dx,dy,0),(0,0,B_0)|= i|(\hat i,\hat j, \hat k),(Rcos\thetad\theta,Rsin\thetad\theta,0),(0,0,B_0)|=\hat i(iB_0Rsin\thetad\theta)+\hat j(-iB_0Rcos\thetad\theta)+\hat k(0)$
La Forza di Lorentz agisce lungo x e y:
$F_x=\int_π^0 iB_0Rsin\thetad\theta=iB_0R|cos\theta|_0^π=-2iB_0R$ e poiché $R=l$ , $F_x=-2iB_0l$
$F_y=\int_π^0 iB_0Rcos\thetad\theta=iB_0R|sin\theta|_π^0=0$
Ora ritorniamo alla prima definizione della Forza di Lorentz totale:
$F=i\int_A^Bd\vecl xx \vec B_0 + i\int_B^C d\vecl xx \vecB_0 + i\int_C^D d\vecl xx \vecB_0$
scomposta nelle componenti vettoriali:
${(F_x=F_x^(AB) +F_x^(BC) +F_x^(CD)=0-2iB_0l+0=-2iB_0l),(F_y=F_y^(AB) + F_y^(BC) +F_y^(CD)=-iB_0l + 0 - iB_0l= -2iB_0l),(F_z=0):}$
Determiniamo il modulo della forza totale:
$|F_L|=sqrt((F_x)^2 +(F_y)^2 +(F_z)^2)=2iB_0l$
Ecco qui la soluzione che hai trovato
I 2 errori commessi sono: la forza lungo x e' nulla (hai scambiato coseno con seno nella proiezione).
Il modulo finale, secondo i tuoi calcoli dovrebbe venire $ sqrt[(2iBl)^2+(2iBl)^2]=2iBlsqrt[2] $ e la forza totale risultante dovrebbe essere diretta a 45 gradi rispetto ai tratti orizzontali di filo, cos che non e'.
Ciao
Vero! Ho invertito un po' di cose
E come dicevi te ci si rende subito conto che nell'arco lungo l'asse x la forza è nulla.
Per non parlare dell'errore aritmetico
E come dicevi te ci si rende subito conto che nell'arco lungo l'asse x la forza è nulla.
Per non parlare dell'errore aritmetico
Grazie mille ragazzi, il mio errore era quello di considerare l'angolo sbagliato per la scomposizione, ma adesso ho capito!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo