Forza elettrostatica tra due bacchette
ragazzi qualcuno potrebbe spiegarmi questo problema:
Due sbarrette sottili di materiale isolante di lunghezza $l=10cm$ portano ciascuno una carica $q=5*10^-10C$, distribuita uniformamente sulla loro lunghezza.Le bacchette stanno sull'asse x con i loro centri distanti $d=15cm$.Calcolare la forza $\vec F$ tra le due bacchette.
La soluzione che mi viene data è la seguente:
(chiaramente $\lambda$ è la densità lineare di carica)
$\vec E(x) = \lambda/(4\pi\epsilon)(1/(x-l/2) - 1/(x+l/2))\vec u$ poichè $d\vec F= \lambdadxvec E$ si ha $vec F =\lambda^2/(4\pi\epsilon) \int_(d-l/2)^(d+l/2)(1/(x-l/2) - 1/(x+l/2))dx\vec u = \lambda^2/(4\pi\epsilon) ln(d^2/(d^2-l^2))\vec u = q^2/(4\pi\epsilon l^2)ln(d^2/(d^2-l^2))\vec u$
Problemi sul calcolo del campo elettrostatico con una bacchetta chiaramente sono banali
ma qui...già non seguo più qual'e stata l'impostazione.
Grazie.
Due sbarrette sottili di materiale isolante di lunghezza $l=10cm$ portano ciascuno una carica $q=5*10^-10C$, distribuita uniformamente sulla loro lunghezza.Le bacchette stanno sull'asse x con i loro centri distanti $d=15cm$.Calcolare la forza $\vec F$ tra le due bacchette.
La soluzione che mi viene data è la seguente:
(chiaramente $\lambda$ è la densità lineare di carica)
$\vec E(x) = \lambda/(4\pi\epsilon)(1/(x-l/2) - 1/(x+l/2))\vec u$ poichè $d\vec F= \lambdadxvec E$ si ha $vec F =\lambda^2/(4\pi\epsilon) \int_(d-l/2)^(d+l/2)(1/(x-l/2) - 1/(x+l/2))dx\vec u = \lambda^2/(4\pi\epsilon) ln(d^2/(d^2-l^2))\vec u = q^2/(4\pi\epsilon l^2)ln(d^2/(d^2-l^2))\vec u$
Problemi sul calcolo del campo elettrostatico con una bacchetta chiaramente sono banali
ma qui...già non seguo più qual'e stata l'impostazione.Grazie.
Risposte
Fissa l'origine $0$ dell'asse $x$ nel centro di una delle due bacchette (il problema è "simmetrico", quindi non importa quale bacchetta scegli).
Conviene calcolare il campo elettrico generato dalla bacchetta centrata nell'origine.
Tale bacchetta si può suddividere in infiniti trattini infinitesimi, ognuno dei quali è assimilabile ad una carica puntiforme $dq$
Chiama $s$ la distanza di un generico punto della bacchetta dal suo centro; il punto corrispondente avrà una carica $dq=lambda ds$
La distanza di questa carica infinitesima da un punto qualunque dell'asse $x$ è $r=x-s$, per cui il campo elettrico infinitesimo generato in quel punto è:
$dE_x = (dq)/(4 pi (epsilon)_0 r^2) = (lambda ds)/(4 pi (epsilon)_0 (x-s)^2)$
Il campo complessivo si ottiene calcolando la somma integrale di tutti questi contributi:
$E_x = (lambda)/(4 pi (epsilon)_0) int_(-l/2)^(+l/2) (ds)/(x-s)^2$
Ogni elemento della seconda asta è soggetto ad una forza infinitesima $dF = dq E = lambda dx E$; anche adesso, calcolando la somma integrale, si può ottenere la forza risultante
Conviene calcolare il campo elettrico generato dalla bacchetta centrata nell'origine.
Tale bacchetta si può suddividere in infiniti trattini infinitesimi, ognuno dei quali è assimilabile ad una carica puntiforme $dq$
Chiama $s$ la distanza di un generico punto della bacchetta dal suo centro; il punto corrispondente avrà una carica $dq=lambda ds$
La distanza di questa carica infinitesima da un punto qualunque dell'asse $x$ è $r=x-s$, per cui il campo elettrico infinitesimo generato in quel punto è:
$dE_x = (dq)/(4 pi (epsilon)_0 r^2) = (lambda ds)/(4 pi (epsilon)_0 (x-s)^2)$
Il campo complessivo si ottiene calcolando la somma integrale di tutti questi contributi:
$E_x = (lambda)/(4 pi (epsilon)_0) int_(-l/2)^(+l/2) (ds)/(x-s)^2$
Ogni elemento della seconda asta è soggetto ad una forza infinitesima $dF = dq E = lambda dx E$; anche adesso, calcolando la somma integrale, si può ottenere la forza risultante
Grazie mille Vin
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