Forza elettrostatica in un poligono regolare.
Ciao a tutti, il problema è il seguente: si prendano $n$ cariche identiche $q$ e le si dispongano negli $n$ vertici di un poligono regolare. Determinare la forza elettrostatica su una carica di prova $Q$ presente nel centro nel caso in cui $n$ sia pari, nel caso in cui $n$ sia dispari, e nei casi in cui si rimuova una carica da entrambe le configurazioni.
Senza fare alcun conto, se $n$ è pari è sempre possibile pensare alle coppie di cariche presenti in vertici opposti fra loro e considerare nullo il loro contributo complessivo; quindi, per ragioni di simmetria la forza presente nel centro è sempre nulla. D'altro canto rimuovendo un'unica carica, rimane una sola $q_n$ senza una corrispondente carica annullatrice e quindi detta $r$ la distanza vertice-centro si ha semplicemente \(\displaystyle \mathbf{F}=\pm q_nQ/4\pi\epsilon_0 r^2\mathbf{u}_r \), dove il segno dipende dalla positività delle cariche.
Il mio problema sorge nel caso in cui $n$ sia dispari. A questo punto non è più possibile creare coppie di cariche con contributo nullo. Tuttavia se considero un qualunque asse di simmetria passante per uno dei vertici la figura è divisa in due parti con disposizione identica di cariche, quindi la forza complessiva dovrebbe essere nuovamente nulla sulla carica nel centro. Togliendo una $q$, ho pensato a questo: immagino di aggiungere un'ulteriore carica di segno opposto $-q$ nel vertice con carica mancante. Per il principio di sovrapposizione quindi si ha ancora \(\displaystyle \mathbf{F}=\pm q_nQ/4\pi\epsilon_0 r^2\mathbf{u}_r \).
Secondo voi è corretto? Grazie in anticipo...
Senza fare alcun conto, se $n$ è pari è sempre possibile pensare alle coppie di cariche presenti in vertici opposti fra loro e considerare nullo il loro contributo complessivo; quindi, per ragioni di simmetria la forza presente nel centro è sempre nulla. D'altro canto rimuovendo un'unica carica, rimane una sola $q_n$ senza una corrispondente carica annullatrice e quindi detta $r$ la distanza vertice-centro si ha semplicemente \(\displaystyle \mathbf{F}=\pm q_nQ/4\pi\epsilon_0 r^2\mathbf{u}_r \), dove il segno dipende dalla positività delle cariche.
Il mio problema sorge nel caso in cui $n$ sia dispari. A questo punto non è più possibile creare coppie di cariche con contributo nullo. Tuttavia se considero un qualunque asse di simmetria passante per uno dei vertici la figura è divisa in due parti con disposizione identica di cariche, quindi la forza complessiva dovrebbe essere nuovamente nulla sulla carica nel centro. Togliendo una $q$, ho pensato a questo: immagino di aggiungere un'ulteriore carica di segno opposto $-q$ nel vertice con carica mancante. Per il principio di sovrapposizione quindi si ha ancora \(\displaystyle \mathbf{F}=\pm q_nQ/4\pi\epsilon_0 r^2\mathbf{u}_r \).
Secondo voi è corretto? Grazie in anticipo...
Risposte
"Lèo":
Tuttavia se considero un qualunque asse di simmetria passante per uno dei vertici la figura è divisa in due parti con disposizione identica di cariche, quindi la forza complessiva dovrebbe essere nuovamente nulla sulla carica nel centro.
No, questo non va bene. Il fatto che le cariche abbiano la stessa distribuzione ai due lati dell'asse permette di concludere che la componente trasversale è nulla, ma non quella diretta come l'asse.
Però, se pensi che una rotazione di $(2pi)/n$ lascia il sistema inalterato, allora anche il campo nel centro (punto fisso) deve essere inalterato, per cui deve essere nullo
Sia nel caso pari che in quello dispari ovviamente la risultante è nulla, semplicemente per simmetria (se non fosse nulla dovrebbe essere diretta in qualche direzione, e la simmetria del problema non dà nessuna preferenza sulla direzione). Inoltre questa è una nota proprieta dei numeri complessi.
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