Forza elettromotrice indotta in una spira quadrata

[oblion94]

Un filo rettilineo percorso da corrente produce un campo magnetico il cui modulo è dato dall'espressione:

$ B=B_0(1+{a}/{r^2}) $

con $ B_0=0,1\ T $ e $ a=0,5\ Tm^2 $ ed avendo indicato con r la distanza dal filo.

Nella stessa regione, complanare al filo, vi è una piccola spira quadrata di lato $ l=2\ cm $ e resistenza $ R=5\ \Omega $ , a distanza iniziale $ r_0=5\ cm $ , che si allontana in direzione radiale dal filo con velocità $ v=3\ \frac{m}{s}. $

Determinare la f.e.m. indotta nella spira all'istante iniziale. Se la spira viene lasciata ferma nella posizione iniziale $ r_0 $ e viene ruotata di 180 gradi intorno al lato della spira parallelo al filo e posto a distanza maggiore, quanta carica sarà passata attraverso essa?


1)Riguardo al quesito 1 voglio provare a svolgerlo in due modi:

a) $ f.e.m.=-(dPhi (B))/(dt) $
$ dPhi (B)=int_(r_o)^(r_o +l) B_0(1+a/x^2)l dx $
$ fem=-B_0 (1+a/x^2)lv $
$ fem=-B_0 (1+a/x^2)lv=-B_0 (1+a/(r_o +vt)^2)lv $
posto t=0 perche vuole saperlo all'istante iniziale mi ricavo la fem

b) $ f.e.m.=oint_() Eds $
$ E_i=F_l/q=vB(x) $
$ f.e.m.=oint_() Eds=oint_()vBds=oint_()vB_o(1+a/x^2)ds =vB_0l(1+a/(r_0+vt)^2 ) $
Uguale poi al precedente..mi chiedevo ma posso porre $ ds=ydx=ldx $ ?



2) applico la legge di felici quindi $ q=(Phi _1-Phi _2)/R $
$ Phi _1=int_(r_o)^(r_o +l) B_0(1+a/x^2)l dx $
$ Phi _2=int_(r_o +l)^(r_o +2l) B_0(1+a/x^2)l dx $


Tutto corretto a vostro parere?

[gordnbrn]

"oblion94":
$dPhi(B)=int_(r_o)^(r_o +l)B_0(1+a/x^2)ldx$

Questa è concettualmente sbagliata. A sinistra hai scritto una grandezza infinitesima, a destra una grandezza finita.

[oblion94]

Quindi dovrei scrivere $ Phi (B) $ ?
questo mi vuoi dire?

[gordnbrn]

Certamente sì. In ogni modo, non mi fido del tuo procedimento. Mi sembra che manchi il necessario rigore matematico. Quindi, se non sei in grado di motivare tutto ciò che hai scritto, meglio procedere seguendo un'altra via. Insomma, calcola esplicitamente questo integrale:

$Phi(t)=int_(r_o +vt)^(r_o +l+vt)B_0(1+a/x^2)ldx$

il cui risulato dipende solo dal tempo, oltre cha dai dati del problema ovviamente. Poi lo derivi e gli cambi il segno.

[oblion94]

Hmm si ho fatto i calcoli che mi hai proposto e mi sembra piu sensato il tuo procedimento ( Grazie!! ) Per il secondo quesito invece ti sembra giusta l'impostazione ( considera che in quel caso V=0) ?

[gordnbrn]

Mi sembra di capire che tu voglia determinare la carica totale che fluisce attraverso la spira, calcolando la differenza tra il flusso di $vecB$ nella configurazione iniziale e quella finale. E' concettualmente corretto.