[Forza elastica e attrito]
Ad una massa di $m=3kg$, posta su un piano orizzontale, è collegata una molla di costante elastica $k=640N/m$, all'estremo della quale agisce parallelamente al piano una forza $F=16N$; il sistema è in quiete.
Calcolare:
a) l'allungamento della molla
Mi ricavo le componenti orizzontale delle forze agenti:
$F-F_e=0 hArr F=kx hArr x=F/k$.
b) quale affermazione quantitativa si può fare sulla molla?
Dato che il corpo, se pur in presenza di una forza, non si muove; ciò implica che esiste una forza di attrito statico e che il corpo manterrà la quiete se $F<=mu_s mg hArr mu_s>=F/(mg)$
Se in vece il corpo si muove e $mu_d=0.5$, calcolare:
c) l'allungamento della molla
Qui libro sostiene che valga ancora $F=kx$, però non capisco perché: se il copro si muove in presenza di un attrito dinamico, la relazione della deformazione della molla non dovrebbe variare?
d) l'accelerazione.
Dato che il sistema ora si muove, io pensavo a una combinazione delle forze di questo tipo:
$F-F_e - F_a=ma $
mentre il libro pone $F_e - F_a=ma $: non capisco perché trascura la forza $F$ applicata alla molla.
Risposte
Non mi è chiara la forma del sistema, non è che potresti mettere una rappresentazione del sistema ?
alla molla è fissata un massa, ma la molla non è fissata a niente giusto? Quindi la forza è applicata al punto senza massa della molla ed immaginando un sistema orientato da sinistra a destra la forza $F$ essendo positiva sta comprimendo la molla corretto?
Se così stanno le cose allora la molla non si sta più comprimendo a causa della forza applicata, perché il corpo sta traslando ed infatti se non vi fosse attrito ma vi fosse solo la forza $F$ applicata la molla non si comprimerebbe mai ma traslerebbe tutta d'un pezzo. Quindi la forza $F$ serve solo a mettere in moto il sistema , una volta che tale sistema è in moto le compressioni e gli allungamenti sono dovuti unicamente alla resistenza della forza d'attrito (al movimento imposto da $F$) e all'elasticità della molla. Ed ecco perché il libro non la tira più in ballo (questo discorso che ti ho fatto non è per niente banale ed un buon libro l'avrebbe dovuto scrivere da qualche parte, in maniera più estesa di quanto abbia fatto io)
Inoltre in realtà non è proprio così perché una volta che la molla si è allungata perde l'energia che la metteva in moto e la massa si trova di nuovo ferma, questo è un problema per niente banale che va sotto il nome di Stick and Slip, e studiare la dinamica di questo problema non è pensabile, nel senso che non si riesce ad arrivare a un risultato esatto.
alla molla è fissata un massa, ma la molla non è fissata a niente giusto? Quindi la forza è applicata al punto senza massa della molla ed immaginando un sistema orientato da sinistra a destra la forza $F$ essendo positiva sta comprimendo la molla corretto?
Se così stanno le cose allora la molla non si sta più comprimendo a causa della forza applicata, perché il corpo sta traslando ed infatti se non vi fosse attrito ma vi fosse solo la forza $F$ applicata la molla non si comprimerebbe mai ma traslerebbe tutta d'un pezzo. Quindi la forza $F$ serve solo a mettere in moto il sistema , una volta che tale sistema è in moto le compressioni e gli allungamenti sono dovuti unicamente alla resistenza della forza d'attrito (al movimento imposto da $F$) e all'elasticità della molla. Ed ecco perché il libro non la tira più in ballo (questo discorso che ti ho fatto non è per niente banale ed un buon libro l'avrebbe dovuto scrivere da qualche parte, in maniera più estesa di quanto abbia fatto io)
Inoltre in realtà non è proprio così perché una volta che la molla si è allungata perde l'energia che la metteva in moto e la massa si trova di nuovo ferma, questo è un problema per niente banale che va sotto il nome di Stick and Slip, e studiare la dinamica di questo problema non è pensabile, nel senso che non si riesce ad arrivare a un risultato esatto.
Ecco la rappresentazione del modello
Ma questo è valido per tutti i modelli? Cioè una volta che una data forza $F$, applicata a una molla, mette in moto il sistema, essa non entrerà più in gioca per quanto riguarda la deformazione della molla?
Inoltre $F=kx$ è equivalente a dire che, nei modelli simili, la forza elastica $F_e$ è concorde con la forza $F$ "tirante" (cioè non si oppone al moto)
Pertanto calcolare $F$ o $F_e$ è la stessa cosa 
In un esercizio guidato (sempre massa più molla come prima) afferma che:
L'accelerazione $a$ della massa $m$ è dovuta alla forza esercitata dalla molla che vale $kx$.
La molla, tirata dalla forza $F$, si muove anch'essa con accelerazione $a$, peró la sua massa è trascurabile e quindi la forza totale applicata ala molla deve essere nulla; ne segue che $F-kx=0 hArr F=kx$.
Se c'è attrito, l'equazione del moto della massa $m$ è: $kx-mu_d mg=ma $.
La molla si allunga di più, per vincere l'attrito; anche $F$, sempre uguale a $kx$, deve essere corrispondentemente maggiore per comunicare la stessa accelerazione $a$: $F=ma+mu_d mg$.
Però non riuscivo a capire la formula includente, anche, l'attrito $F=ma+mu_d mg$: io consideravo a priori la forza elastica $F_e$ opposta alla forza $F$ (cioè $F=-F_e$, pertanto l'equazione sarebbe dovuta essere $F-F_e-F_A=ma$).
"Bossmer":
Se così stanno le cose allora la molla non si sta più comprimendo a causa della forza applicata, perché il corpo sta traslando ed infatti se non vi fosse attrito ma vi fosse solo la forza $F$ applicata la molla non si comprimerebbe mai ma traslerebbe tutta d'un pezzo. Quindi la forza $F$ serve solo a mettere in moto il sistema , una volta che tale sistema è in moto le compressioni e gli allungamenti sono dovuti unicamente alla resistenza della forza d'attrito (al movimento imposto da $F$) e all'elasticità della molla. Ed ecco perché il libro non la tira più in ballo
Ma questo è valido per tutti i modelli? Cioè una volta che una data forza $F$, applicata a una molla, mette in moto il sistema, essa non entrerà più in gioca per quanto riguarda la deformazione della molla?
Inoltre $F=kx$ è equivalente a dire che, nei modelli simili, la forza elastica $F_e$ è concorde con la forza $F$ "tirante" (cioè non si oppone al moto)
Pertanto calcolare $F$ o $F_e$ è la stessa cosa "Bossmer":
(questo discorso che ti ho fatto non è per niente banale ed un buon libro l'avrebbe dovuto scrivere da qualche parte, in maniera più estesa di quanto abbia fatto io)
In un esercizio guidato (sempre massa più molla come prima) afferma che:
L'accelerazione $a$ della massa $m$ è dovuta alla forza esercitata dalla molla che vale $kx$.
La molla, tirata dalla forza $F$, si muove anch'essa con accelerazione $a$, peró la sua massa è trascurabile e quindi la forza totale applicata ala molla deve essere nulla; ne segue che $F-kx=0 hArr F=kx$.
Se c'è attrito, l'equazione del moto della massa $m$ è: $kx-mu_d mg=ma $.
La molla si allunga di più, per vincere l'attrito; anche $F$, sempre uguale a $kx$, deve essere corrispondentemente maggiore per comunicare la stessa accelerazione $a$: $F=ma+mu_d mg$.
Però non riuscivo a capire la formula includente, anche, l'attrito $F=ma+mu_d mg$: io consideravo a priori la forza elastica $F_e$ opposta alla forza $F$ (cioè $F=-F_e$, pertanto l'equazione sarebbe dovuta essere $F-F_e-F_A=ma$).
Prima di tutto, per favore, usa i termini corretti perché $F=-kx$ e quel meno è di cruciale importanza sia per i conti che per il significato, al massimo $k|x|$ è il modulo della forza. 
In ogni caso se quella è la spiegazione data dal tuo libro ti consiglio di accartocciarlo e buttarlo nelle fiamme dell'inferno!
Una spiegazione dettagliata del fenomeno la trovi qui :
http://www.fedoa.unina.it/1255/1/Di_Liberto.pdf
Comunque la risposta alla prima domanda è si, quando il corpo è in moto la forza elastica è concorde con la forza tirante ed opposta alla forza d'attrito. No quel pertanto non ha senso di esistere, Perché $F$ la sai già quindi non va calcolata.
Vediamo di chiarire, per studiare il tuo problema puoi ridurre tutto il ragionamento ad un cambio di sistema di riferimento, chiamiamo $A$ il punto fisso con la massa e $B$ il punto fisso con l'estremità destra della molla.
Nel primo caso poiché il sistema era in quiete il fatto che in $A$ vi ci fosse fissata una massa era ininfluente, quindi era come se la molla nel punto $A$ fosse fissa ad una parate, quindi quello che stavi studiando era la dinamica del punto $B$ nel sistema di coordinate orientato da sinistra a destra con centro la lunghezza della molla a riposo, per cui $x$ è direttamente l'allungamento; le forze applicate sul punto $B$ sono due una è $F$ e l'altra è $F_e$ ed esse si bilanciano, cioè la loro somma è nulla quindi $F+F_e=0$ quindi $F-kx=0$.
Nel secondo caso la massa si muove e la tua attenzione precipita su di essa, quindi in questo momento stai studiando la dinamica del punto $A$ sempre con lo stesso sistema di riferimento di prima ma con verso invertito cioè che punta da destra a sinistra (che adesso si sta muovendo poiché ancorato nel punto in cui la molla sarebbe a riposo). Adesso nel punto $A$ sono applicate due sole forze, ovvero la forza d'attrito $F_a=\mu_dmg$ ed una seconda forza, che adesso andiamo ad indagare.
Precisato ciò, mettiamo in evidenza altri dettagli di fondamentale importanza.
Primo, se ad una estremità di una molla ho applicata una forza, essa provoca a causa della molla stessa una forza elastica, per cercare di compensare, una volta che tale forza elastica si è generata in un punto $B$ allora essa è istantaneamente(almeno per la nostra modellizzazione) efficace anche nell'altro estremo della molla, quindi se ho una forza tirante in $B$ essa genera una forza elastica controtirante in $B$ ovvero una forza tirante elastica in $A$ pari in modulo alla forza elastica controtirante in $B$.
Seconda precisazione, l'attrito dinamico è sempre minore dell'attrito statico(ad eccezione dei sistemi incollati), questo significa che se mi serviva una forza $F$ in $B$ che generi una forza elastica uguale ed opposta in $B$ $F_{eB}$ la quale genera una forza elastica $F_e$ concorde e uguale a $F$ in $A$ , la quale è responsabile del moto; e tale forza $F_e$ che mi serviva per battere l'attrito statico, valeva un tot, allora una volta che il corpo è in moto mi è sufficiente un forza minore, perciò l'allungamento della molla sarà minore, in particolare avrò che $F_e+F_a=0$ ; questo significa che parte della forza $F$ (circa $1N$ in questo caso) non porta ad un allungamento della molla, ma causa il moto di traslazione ti tutto il sistema.
Quindi ricapitolando.
Mi serviva una forza $F_{as}=\mu_smg$ per mettere in moto il sistema e tale forza deve per forza di cose essere di natura elastica poiché la massa è tirara attraverso una molla.
Il sistema è in moto quindi ho un attrito dinamico, e tale forza di attrito dinamico $F_a$ sarà minore di quello statico, $F_{a}
A questo punto posso studiare il sistema come un unico corpo rigido che trasla solidamente rispetto al centro di massa del sistema che è centrato in $A$ (essendo la molla di massa trascurabile), perciò la forza agente in tale punto è pari alla somma della forza tirante $F$ sommata alla forza d'attrito, ovvero $\mu_dmg-16N=ma$ .
Fine.
Anche se ripeto, la dinamica di tale sistema qui è semplificata (infatti se noti nella mia spiegazione e in quella del libro compaiono dei controsensi) perché le forze agenti sulla massa devono essere di natura elastica, ma nell'ultimo caso ho che a causare il moto è un forza "rigida" . Quindi la molla si accorcia perché l'attrito dinamico è minore di quello statico, ma contemporaneamente dovrebbe allungarsi perché appunto sul punto $A$ può agire solo una forza elastica, se per calcolare l'allungamento della molla uso la forza elastica minima per farlo muovere, per calcolare l'accelerazione uso la forza $F=16N$ che però corrisponde ad un allungamento maggiore. Il problema messo nei termini dell'esercizio quindi è intrinsecamente contraddittorio.
Scusa per il papiro, ma proprio non riesco ad essere conciso XD
In ogni caso se quella è la spiegazione data dal tuo libro ti consiglio di accartocciarlo e buttarlo nelle fiamme dell'inferno!
Una spiegazione dettagliata del fenomeno la trovi qui :
http://www.fedoa.unina.it/1255/1/Di_Liberto.pdf
Comunque la risposta alla prima domanda è si, quando il corpo è in moto la forza elastica è concorde con la forza tirante ed opposta alla forza d'attrito. No quel pertanto non ha senso di esistere, Perché $F$ la sai già quindi non va calcolata.
Vediamo di chiarire, per studiare il tuo problema puoi ridurre tutto il ragionamento ad un cambio di sistema di riferimento, chiamiamo $A$ il punto fisso con la massa e $B$ il punto fisso con l'estremità destra della molla.
Nel primo caso poiché il sistema era in quiete il fatto che in $A$ vi ci fosse fissata una massa era ininfluente, quindi era come se la molla nel punto $A$ fosse fissa ad una parate, quindi quello che stavi studiando era la dinamica del punto $B$ nel sistema di coordinate orientato da sinistra a destra con centro la lunghezza della molla a riposo, per cui $x$ è direttamente l'allungamento; le forze applicate sul punto $B$ sono due una è $F$ e l'altra è $F_e$ ed esse si bilanciano, cioè la loro somma è nulla quindi $F+F_e=0$ quindi $F-kx=0$.
Nel secondo caso la massa si muove e la tua attenzione precipita su di essa, quindi in questo momento stai studiando la dinamica del punto $A$ sempre con lo stesso sistema di riferimento di prima ma con verso invertito cioè che punta da destra a sinistra (che adesso si sta muovendo poiché ancorato nel punto in cui la molla sarebbe a riposo). Adesso nel punto $A$ sono applicate due sole forze, ovvero la forza d'attrito $F_a=\mu_dmg$ ed una seconda forza, che adesso andiamo ad indagare.
Precisato ciò, mettiamo in evidenza altri dettagli di fondamentale importanza.
Primo, se ad una estremità di una molla ho applicata una forza, essa provoca a causa della molla stessa una forza elastica, per cercare di compensare, una volta che tale forza elastica si è generata in un punto $B$ allora essa è istantaneamente(almeno per la nostra modellizzazione) efficace anche nell'altro estremo della molla, quindi se ho una forza tirante in $B$ essa genera una forza elastica controtirante in $B$ ovvero una forza tirante elastica in $A$ pari in modulo alla forza elastica controtirante in $B$.
Seconda precisazione, l'attrito dinamico è sempre minore dell'attrito statico(ad eccezione dei sistemi incollati), questo significa che se mi serviva una forza $F$ in $B$ che generi una forza elastica uguale ed opposta in $B$ $F_{eB}$ la quale genera una forza elastica $F_e$ concorde e uguale a $F$ in $A$ , la quale è responsabile del moto; e tale forza $F_e$ che mi serviva per battere l'attrito statico, valeva un tot, allora una volta che il corpo è in moto mi è sufficiente un forza minore, perciò l'allungamento della molla sarà minore, in particolare avrò che $F_e+F_a=0$ ; questo significa che parte della forza $F$ (circa $1N$ in questo caso) non porta ad un allungamento della molla, ma causa il moto di traslazione ti tutto il sistema.
Quindi ricapitolando.
Mi serviva una forza $F_{as}=\mu_smg$ per mettere in moto il sistema e tale forza deve per forza di cose essere di natura elastica poiché la massa è tirara attraverso una molla.
Il sistema è in moto quindi ho un attrito dinamico, e tale forza di attrito dinamico $F_a$ sarà minore di quello statico, $F_{a}
A questo punto posso studiare il sistema come un unico corpo rigido che trasla solidamente rispetto al centro di massa del sistema che è centrato in $A$ (essendo la molla di massa trascurabile), perciò la forza agente in tale punto è pari alla somma della forza tirante $F$ sommata alla forza d'attrito, ovvero $\mu_dmg-16N=ma$ .
Fine.
Anche se ripeto, la dinamica di tale sistema qui è semplificata (infatti se noti nella mia spiegazione e in quella del libro compaiono dei controsensi) perché le forze agenti sulla massa devono essere di natura elastica, ma nell'ultimo caso ho che a causare il moto è un forza "rigida" . Quindi la molla si accorcia perché l'attrito dinamico è minore di quello statico, ma contemporaneamente dovrebbe allungarsi perché appunto sul punto $A$ può agire solo una forza elastica, se per calcolare l'allungamento della molla uso la forza elastica minima per farlo muovere, per calcolare l'accelerazione uso la forza $F=16N$ che però corrisponde ad un allungamento maggiore. Il problema messo nei termini dell'esercizio quindi è intrinsecamente contraddittorio.
Scusa per il papiro, ma proprio non riesco ad essere conciso XD
"Bossmer":
Prima di tutto, per favore, usa i termini corretti perché $F=-kx$ e quel meno è di cruciale importanza sia per i conti che per il significato, al massimo $k|x|$ è il modulo della forza.
Per il fatto che in questo caso la forza elastica fosse concorde con la forza tirante, credevo non servisse. Mea culpa
"Bossmer":
In ogni caso se quella è la spiegazione data dal tuo libro ti consiglio di accartocciarlo e buttarlo nelle fiamme dell'inferno!
Una spiegazione dettagliata del fenomeno la trovi qui :
http://www.fedoa.unina.it/1255/1/Di_Liberto.pdf
È il Mazzoldi, Nigro, Voci, ed ho scoperto che è la versione parziale adattata alla riforma (ne esiste anche un'edizione integrale dove credo che trattino meglio il tema, spero!). Ti ringrazio per il link
!"Bossmer":
Comunque la risposta alla prima domanda è si, quando il corpo è in moto la forza elastica è concorde con la forza tirante ed opposta alla forza d'attrito. No quel pertanto non ha senso di esistere, Perché $F$ la sai già quindi non va calcolata.
Intendevo che essendo $F=F_e$, $F=16N$ mi è data e la forza elastica è l'opposta di $F$, cioè $F_e=-16N$.
"Bossmer":
Nel primo caso poiché il sistema era in quiete il fatto che in $A$ vi ci fosse fissata una massa era ininfluente, quindi era come se la molla nel punto $A$ fosse fissa ad una parate, quindi quello che stavi studiando era la dinamica del punto $B$ nel sistema di coordinate orientato da sinistra a destra con centro la lunghezza della molla a riposo, per cui $x$ è direttamente l'allungamento; le forze applicate sul punto $B$ sono due una è $F$ e l'altra è $F_e$ ed esse si bilanciano, cioè la loro somma è nulla quindi $F+F_e=0$ quindi $F-kx=0$.
Ok, fino a qui ci sono.
"Bossmer":
Seconda precisazione, l'attrito dinamico è sempre minore dell'attrito statico(ad eccezione dei sistemi incollati), questo significa che se mi serviva una forza $F$ in $B$ che generi una forza elastica uguale ed opposta in $B$ $F_{eB}$ la quale genera una forza elastica $F_e$ concorde e uguale a $F$ in $A$ , la quale è responsabile del moto; e tale forza $F_e$ che mi serviva per battere l'attrito statico, valeva un tot, allora una volta che il corpo è in moto mi è sufficiente un forza minore, perciò l'allungamento della molla sarà minore, in particolare avrò che $F_e+F_a=0$ ; questo significa che parte della forza $F$ (circa $1N$ in questo caso) non porta ad un allungamento della molla, ma causa il moto di traslazione ti tutto il sistema.
Dato che il sistema (massa più molla) è in movimento non mi è chiaro perché poni $F_e+F_a=0$.
"Bossmer":
A questo punto posso studiare il sistema come un unico corpo rigido che trasla solidamente rispetto al centro di massa del sistema che è centrato in $A$ (essendo la molla di massa trascurabile), perciò la forza agente in tale punto è pari alla somma della forza tirante $F$ sommata alla forza d'attrito, ovvero $\mu_dmg-16N=ma$ .
Allora, io ho un modello del genere (mi sono dimenticato di inserire la forza di attrito
):
e le componenti lungo l'asse $x$ sono (il centro degli assi è il corpo puntiforme, sistema da sinistra a destra, $F, F_e$ etcc... indicano il modulo):
$-F_A-F_e^(** **)+F_e-F_e^(**)+F=ma$
In questo caso $F_e$,$-F_e^(**)$ sono "forze interne e pertanto si eliminano, giusto?
quindi $-F_A-F_e^(** **)+F=ma$
la forza $F$ è stata applicata solo per mettere in moto il sistema, quindi non è più presente, pertanto
$-F_A-F_e^(** **)=ma hArr -mu_d mg-kx=ma $
Però abbiamo detto che la forza elastica contribuisce al moto e dovrebbe essere positiva
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
allora $F_e+F_a=0$ mi serve per calcolare l'allungamento, poiché anche se è vero che il sistema è in moto la molla si allunga solo quel tanto che bassa per compensare l'attrito dinamico, dopodiché ho un sistema che trasla con una forza pari a $F_a-F$, dove $F$ deve essere maggiore per forza di $F_e$ altrimenti non trasla.
No allora nella tua schematizzazione ha una forza elastica di troppo, non c'è nessuna $F_e**$ ci può essere solo una forza elastica per punto, quindi due punti, due forze. Tali forze elastiche sono forze interne e pertanto si elidono e rimane unicamente $-F_a+F=ma$.
No allora nella tua schematizzazione ha una forza elastica di troppo, non c'è nessuna $F_e**$ ci può essere solo una forza elastica per punto, quindi due punti, due forze. Tali forze elastiche sono forze interne e pertanto si elidono e rimane unicamente $-F_a+F=ma$.
"Bossmer":
No allora nella tua schematizzazione ha una forza elastica di troppo, non c'è nessuna $F_e**$ ci può essere solo una forza elastica per punto, quindi due punti, due forze.
Intendi $F_e** **$? Questa schematizzazione l'ho ripresa dal libro
Credevo fosse giusto per il principio di azione/reazione... "Bossmer":
Tali forze elastiche sono forze interne e pertanto si elidono e rimane unicamente $-F_a+F=ma$.
Ottimo!
Grazie per la disponibilità!
Si per qualche ragione non mi permette di scrivere due asterischi in formula, ho anche provato a modificare ma niente, non so come hai fatto XD
Comunque si vale il principio di azione reazione, ma l'azione è la forza elastica $F_e$ mentre la reazione è la forza d'attrito $F_a$.
Comunque si vale il principio di azione reazione, ma l'azione è la forza elastica $F_e$ mentre la reazione è la forza d'attrito $F_a$.
"Bossmer":
Si per qualche ragione non mi permette di scrivere due asterischi in formula, ho anche provato a modificare ma niente, non so come hai fatto XD
Se metti un solo asterisco tra i dollaroni ottieni il per della moltiplicazione $*$, mentre due asterischi restituiscono un solo asterisco $**$.
"Bossmer":
Comunque si vale il principio di azione reazione, ma l'azione è la forza elastica $F_e$ mentre la reazione è la forza d'attrito $F_a$.
Ah... allora quello è il modello del sistema con il piano liscio. Mea culpa!
No nemmeno, non è il modello con il piano liscio, è il modello in cui al posto della massa hai un muro.
"Bossmer":
No nemmeno, non è il modello con il piano liscio, è il modello in cui al posto della massa hai un muro.
Equivalente al sistema del corpo material in quiete
yes 
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