Forza elastica con moto circolare
Buonasera . Propongo un esercizio per il quale mi viene una soluzione diversa da quella del libro per cui vorrei capire dove sbaglio . "Una pallina di massa $ m=40 g $ si muove di moto circolare uniforme con periodo $ T= 0,5 s $ su un piano orizzontale liscio ; la pallina è collegata al centro della traiettoria da un filo di costante elastica $ k=40 N/m $ e lunghezza a riposo $ l_0 =30 cm $ . Quanto vale l'energia meccanica della pallina ( si consideri la sola forza elastica ) " . Allora io prima l'avevo risolto senza considerare ( in virtù di questa ultima affermazione ) la energia cinetica della pallina quindi nel conteggio finale avere $ E= 1/2kx^2 $ partendo dalla considerazione che la forza elastica deve eguagliare la forza centripeta e quindi $ k(l-l_0)=m omega^2 l $ chiamata l la nuova lunghezza della molla ( estesa ) . Da qui $ l=kl_0/(k-m omega^2 ) $ . Facendo $ l-l_0= l_0 m omega^2 /(k-m omega^2 ) $ trovo x che sostituisco nella legge dell'energia per trovare questa però uguale a $ 1/2 k l_0^2 (m^2 16 pi^4)/(kT^2-m4pi^2)^2 $ . Ho poi risolto considerando anche l'energia cinetica ( ho pensato che avessi sbagliato io a non considerarla ) per cui mi sono trovato $ l $ che è la stessa di prima , ho una energia potenziale elastica che è la stessa di prima e a questa aggiungo una energia cinetica dove la velocità la trovo come $ v=2pi/T kl_0/(k-m omega^2) $ . Sostituisco questa sulla legge dell'energia cinetica e trovo questa cinetica $ E_c=1/2 m/T^2 4pi^2k^2l_0^2/(k-m omega^2)^2 $ che sommata alla potenziale elastica mi dà $ E= 1/2 kl_0^2/(k-momega^2)^2 [m4pi^2k+m^2 16pi^4] $ che però mi differisce dalla soluzione del libro poichè essa prevede un $ T^2 $ moltiplicato per il primo addendo dentro la parentesi quadra e non capisco da quale passaggio salti fuori. Come mi potete aiutare ? Scusate se ho impastato le formule ma ho cercato di essere il più chiaro possibile. Grazie e buonanotte
Risposte
Dimensionalmente c'è qualcosa che non va nella parentesi quadra $[m4π^2k+m^2 16π^4]$
il primo termine $mk$ ha la dimensione $M^2T^-2$ e il secondo $M^2$, quindi manca proprio il $T^2$ del libro.
Penso che dovresti riguardare i calcoli. Il procedimento mi pare giusto.
Ho riguardato i tuoi conti, ma ci sono passaggi che non capisco.
Quando trovi l'energia potenziale elastica, mi pare che a un certo punto sostituisci a $omega$ $4pi$, giusto? Infatti $omega$ non c'è più. Ma il $T^2$ al denominatore da dove arriva? E quella frase "però uguale a ...", cosa vuol dire?
Poi: avendo sostituito a $omega$ il suo valore, mi aspetterei di non vedere più $omega$, invece c'è ancora.
il primo termine $mk$ ha la dimensione $M^2T^-2$ e il secondo $M^2$, quindi manca proprio il $T^2$ del libro.
Penso che dovresti riguardare i calcoli. Il procedimento mi pare giusto.
Ho riguardato i tuoi conti, ma ci sono passaggi che non capisco.
Quando trovi l'energia potenziale elastica, mi pare che a un certo punto sostituisci a $omega$ $4pi$, giusto? Infatti $omega$ non c'è più. Ma il $T^2$ al denominatore da dove arriva? E quella frase "però uguale a ...", cosa vuol dire?
Poi: avendo sostituito a $omega$ il suo valore, mi aspetterei di non vedere più $omega$, invece c'è ancora.
Allora oggi a mente più lucida ho rifatto l'esercizio ed effettivamente è riuscito. Per correttezza posto il procedimento che è lo stesso di ieri solo che come avevi sottolineato tu , mgrau , c'è un problema dimensionale che ancora dai miei calcoli non sono riuscito ad individuare esattamente ma dovrebbe essere quello evidenziato da te . Dunque pongo la forza centripeta uguale alla forza elastica $ K(l-l_0)=(m4pi^2l)/(T^2) $ sapendo che $ v=(2pil)/T $ poiché il moto è uniforme e circolare . Risolvendo la prima delle due equazioni rispetto ad $ l $ si trova $ l=(kl_0T^2)/(KT^2-m4pi^2) $ . Sapendo che $ x=l-l_0 $ sostituendo qui la $ l $ trovata prima si trova la compressione $ x $ . La velocità era stata definita come $ v=(2pil)/T=(2pi)/Tl=(2pikl_0T)/(kT^2-m4pi^2) $ . A questo punto scrivo la energia totale come somma della potenziale elastica e della cinetica sapendo che $ x^2=(16m^2l_0^2pi^4)/(KT^2-m4pi^2)^2 $ e che $ v^2=(4pi^2k^2l_0^2T^2)/(KT^2-m4pi^2)^2 $ . Allora mettendo in comune alla potenziale e alla cinetica $ 1/2(kl_0^2)/(KT^2-4mpi^2)^2 $ e sommando i due contributi di energia facendo $ 1/2kx^2+1/2mv^2 $ con le $ x^2 $ e la $ v^2 $ trovate prima ottengo proprio $ E=1/2kl_0^2 (4pi^2m[4pi^2m+KT^2])/(KT^2-4mpi^2)^2 $ che è la soluzione proposta . Grazie a mgrau per avermi aiutato e risposto
Devo dire che il risultato trovato per $E$, somma dell'energia cinetica della massa e potenziale della molla, mi sembra un po' strano: contiene un fattore $l_0^2$, il che significa che se la molla ha una lunghezza a riposo nulla allora l'energia si azzera? E che vuol dire? Va bene che non esistono molle così, ma le molle "ideali" invece si possono immaginare fatte a quel modo, il sistema funziona benissimo lo stesso, la massa gira, la molla si tende, e l'energia non è affatto nulla. E allora? La formula trovata dovrebbe funzionare lo stesso, per ogni $l_0$, anzi, per $l_0 = 0$ dovrebbe diventare molto più semplice, ma certo non azzerarsi
P.S.
Mi viene in mente che se $l_0 = 0$ il sistema, di cui si dà solo il periodo di rotazione, ha una soluzione banale, in cui la massa non si muove dal centro, "gira" su se stessa, cioè sta ferma, con energia cinetica nulla e con la molla non tesa. Mentre se la massa gira davvero, non nel centro, se il periodo è dato è data anche la velocità angolare, e la forza centripeta aumenta linearmente con il raggio, e anche la forza della molla fa lo stesso, per cui il problema, o è indeterminato, se miracolosamente la forza centripeta richiesta e la forza della molla coincidono, o è impossibile (a parte la soluzione nulla) se non coincidono.
Quindi la "stranezza" del risultato svanisce.
P.P.S.
Resterebbe da esaminare il caso indeterminato. Devo dire che non ho voglia di fare i conti, ma mi aspetterei che la formula risolutiva dia luogo ad una forma indeterminata, 0/0, cioè che la fortunata combinazione di massa, periodo e costante della molla sia quella che azzera il denominatore
P.S.
Mi viene in mente che se $l_0 = 0$ il sistema, di cui si dà solo il periodo di rotazione, ha una soluzione banale, in cui la massa non si muove dal centro, "gira" su se stessa, cioè sta ferma, con energia cinetica nulla e con la molla non tesa. Mentre se la massa gira davvero, non nel centro, se il periodo è dato è data anche la velocità angolare, e la forza centripeta aumenta linearmente con il raggio, e anche la forza della molla fa lo stesso, per cui il problema, o è indeterminato, se miracolosamente la forza centripeta richiesta e la forza della molla coincidono, o è impossibile (a parte la soluzione nulla) se non coincidono.
Quindi la "stranezza" del risultato svanisce.
P.P.S.
Resterebbe da esaminare il caso indeterminato. Devo dire che non ho voglia di fare i conti, ma mi aspetterei che la formula risolutiva dia luogo ad una forma indeterminata, 0/0, cioè che la fortunata combinazione di massa, periodo e costante della molla sia quella che azzera il denominatore
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo