Forza elastica
Ciao, ho trovato difficoltà nel risolvere il seguente problema:
Ad una molla appesa al soffitto, con lunghezza a riposo $l_0$ e costante elastica $k$, viene appeso un oggetto di massa $m$ e trattenuto con la mano in modo da non deformare la molla. All'istante $t=0$ viene tolta la mano.
Si trovi l'equazione oraria del moto dell'oggetto.
io so che le forze che agiscono sull'oggetto sono la forza peso e la forza elastica, quindi scrivo:
$m*g-k*\Delta x=m*a$
Ma siccome è un moto armonico, possiamo considerare
$a=a_n *cos(\omega *t)=\omega ^2 * \Delta x * cos(\omega *t)$
Quindi
$m*g-k*\Delta x=m*\omega ^2 * \Delta x * cos(\omega *t)$
$\Delta x =(gm)/k *1/(1-cos(\omega *t))$
Ma purtroppo il risultato corretto è $\Delta x =(gm)/k * (1-cos(\omega *t))$
Qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato?
Grazie
Ad una molla appesa al soffitto, con lunghezza a riposo $l_0$ e costante elastica $k$, viene appeso un oggetto di massa $m$ e trattenuto con la mano in modo da non deformare la molla. All'istante $t=0$ viene tolta la mano.
Si trovi l'equazione oraria del moto dell'oggetto.
io so che le forze che agiscono sull'oggetto sono la forza peso e la forza elastica, quindi scrivo:
$m*g-k*\Delta x=m*a$
Ma siccome è un moto armonico, possiamo considerare
$a=a_n *cos(\omega *t)=\omega ^2 * \Delta x * cos(\omega *t)$
Quindi
$m*g-k*\Delta x=m*\omega ^2 * \Delta x * cos(\omega *t)$
$\Delta x =(gm)/k *1/(1-cos(\omega *t))$
Ma purtroppo il risultato corretto è $\Delta x =(gm)/k * (1-cos(\omega *t))$
Qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato?
Grazie
Risposte
Sbagli perchè quello che fai non ha senso.
Non ha senso sostituire l'accelerazione con quella espressione nell'equazione che hai scritto per $Delta x$.
Devi osservare poi che la molla oscilla attorno alla posizione di equilibrio che corrisponde ad un allungamento pari a $(mg)/k$, e sai che il moto è armonico quindi rispetto a quella posizione di equilibrio lo spostamento della massa è:
$x(t)=A sin (omega t + phi)$ (0)
con $omega=sqrt(k/m)$ e $A$ e $phi$ costanti generiche.
Sai poi che all'instante iniziale la massa si trova ad una distanza $(mg)/k$ dalla posizione di equilibrio per cui:
$x(0) \equiv A*sin(phi) =-(mg)/k$ (1)
(il $-$ perchè la molla è compressa rispetto alla posizione di equilibrio detta).
inoltre all'inizio sai che la velocità della massa è nulla quindi
$dot x(0)\equiv A*omega cos(phi)=0$ (2)
Da (1) e (2) ricavi $A$ e $phi$ le sostituisci in (0) e hai l'equazione del moto rispetto alla posizione di equilibrio, se vuoi la legge oraria rispetto alla posizione indeformata $Delta x(t)$ devi considerare che:
$Delta x(t) = x(t) + (mg)/k$
Non ha senso sostituire l'accelerazione con quella espressione nell'equazione che hai scritto per $Delta x$.
Devi osservare poi che la molla oscilla attorno alla posizione di equilibrio che corrisponde ad un allungamento pari a $(mg)/k$, e sai che il moto è armonico quindi rispetto a quella posizione di equilibrio lo spostamento della massa è:
$x(t)=A sin (omega t + phi)$ (0)
con $omega=sqrt(k/m)$ e $A$ e $phi$ costanti generiche.
Sai poi che all'instante iniziale la massa si trova ad una distanza $(mg)/k$ dalla posizione di equilibrio per cui:
$x(0) \equiv A*sin(phi) =-(mg)/k$ (1)
(il $-$ perchè la molla è compressa rispetto alla posizione di equilibrio detta).
inoltre all'inizio sai che la velocità della massa è nulla quindi
$dot x(0)\equiv A*omega cos(phi)=0$ (2)
Da (1) e (2) ricavi $A$ e $phi$ le sostituisci in (0) e hai l'equazione del moto rispetto alla posizione di equilibrio, se vuoi la legge oraria rispetto alla posizione indeformata $Delta x(t)$ devi considerare che:
$Delta x(t) = x(t) + (mg)/k$
Esiste un modo per risolvere questo tipo di esercizi senza usare le equazioni differenziali?
"pepper9":
Esiste un modo per risolvere questo tipo di esercizi senza usare le equazioni differenziali?
In realtà nella soluzione che ti ho scritto non è stata risolta alcuna equazione differenziale, ho infatti direttamente supposto che la legge oraria avesse quella forma, visto che ci si aspetta da quel sistema un moto di tipo armonico.
EDIT: Ho corretto quanto scritto prima perchè prima ho scritto solo la legge oraria rispetto al centro di oscillazione della molla quindi $x$ è la distanza dal centro delle oscillazioni e non l'allungamento $Delta x$ come richiesto. Adesso ho chiarito.
Ho fatto varie correzioni per un po' di sviste su alcuni dettagli, il problema è semplice, ma per voler scrivere le cose in breve ho fatto qualche confusione di troppo, mi scuso per quello. Ora dovrebbe essere a posto.
"Faussone":
$A$ e $phi$ costanti generiche.
Credo che la costante $phi$ sia legata all'angolo di partenza del moto armonico invece la costante $A$ a cosa è legata?
"pepper9":
[quote="Faussone"]
$A$ e $phi$ costanti generiche.
Credo che la costante $phi$ sia legata all'angolo di partenza del moto armonico invece la costante $A$ a cosa è legata?[/quote]
Puoi pensarla legata all'ampiezza delle oscillazioni.
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