Forza dipendente dal tempo
(es. 53 cap. 5 - Serway - Jewett "Fisica per scienze ed ingegneria")
Una forza dipendente dal tempo $\F = ((8),(-4t))$, dove t è il tempo misurato in secondi, viene applicata ad un corpo inizialmente fermo di massa 2.00 kg.
In quale istante il corpo si muove alla velocità di 15.0 m/s?
Io trovo come risultato 2.4s e facendo il calcolo inverso mi sembra giusto. Il libro però riporta 3s come soluzione.
Svolgimento:
$\F = ((8),(-4t)) = 2 * a$ implica che $\a = ((4), (-2t))$
Uso la formula dello velocità rispetto al tempo e ottengo
$\15 = sqrt(4^2 + (-2t)^2) * t$
Dopo un po' di calcoli trovo t = 2.4s
Dove sbaglio?
Una forza dipendente dal tempo $\F = ((8),(-4t))$, dove t è il tempo misurato in secondi, viene applicata ad un corpo inizialmente fermo di massa 2.00 kg.
In quale istante il corpo si muove alla velocità di 15.0 m/s?
Io trovo come risultato 2.4s e facendo il calcolo inverso mi sembra giusto. Il libro però riporta 3s come soluzione.
Svolgimento:
$\F = ((8),(-4t)) = 2 * a$ implica che $\a = ((4), (-2t))$
Uso la formula dello velocità rispetto al tempo e ottengo
$\15 = sqrt(4^2 + (-2t)^2) * t$
Dopo un po' di calcoli trovo t = 2.4s
Dove sbaglio?
Risposte
Usa il teorema dell'impulso
\[\vec{J}=\int^{t}_{0}{\vec{F}dt}=\Delta\vec{p}\]
in componenti (riferito allo stesso sistema di assi utilizzati)
\[J_{x}=F_{x}\int^{t}_{0}{dt}=F_{x}t=mv_{x}\]
\[J_{y}=-k\int^{t}_{0}{tdt}=-\frac{k}{2}t^{2}=mv_{y}\]
A questo punto dalla relazione modulo-componenti della velocità risolvi l'equazione di secondo grado nella variabile \(y=t^{2}\) che trovi sostituendo
\[v^{2}=v^{2}_{x}+v^{2}_{y}\]
\[\vec{J}=\int^{t}_{0}{\vec{F}dt}=\Delta\vec{p}\]
in componenti (riferito allo stesso sistema di assi utilizzati)
\[J_{x}=F_{x}\int^{t}_{0}{dt}=F_{x}t=mv_{x}\]
\[J_{y}=-k\int^{t}_{0}{tdt}=-\frac{k}{2}t^{2}=mv_{y}\]
A questo punto dalla relazione modulo-componenti della velocità risolvi l'equazione di secondo grado nella variabile \(y=t^{2}\) che trovi sostituendo
\[v^{2}=v^{2}_{x}+v^{2}_{y}\]
Ciao. Non è chiaro che formula tu abbia usato, se pensavi a questa: $v=v_0+at$ sbagli perchè questa vale solo per un moto con accelerazione costante.
Io lo risolverei col teorema dell'impulso: [tex]\int_{0}^{t}\overrightarrow{F}(t)dt=m\overrightarrow{v}-m\overrightarrow{v}_{0}[/tex].
Calcoli l'integrale in funzione di $t$, dividi per la massa e imponi che il modulo del vettore che trovi valga $15$ (sto usando unità adimensionali per alleggerire il calcolo). Così trovi $t=3$.
EDIT: scusami Cuspide83 per la sovrapposizione
Io lo risolverei col teorema dell'impulso: [tex]\int_{0}^{t}\overrightarrow{F}(t)dt=m\overrightarrow{v}-m\overrightarrow{v}_{0}[/tex].
Calcoli l'integrale in funzione di $t$, dividi per la massa e imponi che il modulo del vettore che trovi valga $15$ (sto usando unità adimensionali per alleggerire il calcolo). Così trovi $t=3$.
EDIT: scusami Cuspide83 per la sovrapposizione
Figurati 
avevo anche il browser impallato e non sapevo se stava o aveva gia postato..
avevo anche il browser impallato e non sapevo se stava o aveva gia postato..
Non l'ho ancora studiato quel teorema.
L'esercizio è proposto nel capitolo delle forze e dopo la dinamica.
L'esercizio è proposto nel capitolo delle forze e dopo la dinamica.
"BinaryMind":
Non l'ho ancora studiato quel teorema.
Allora puoi vederla così:
$vec(a)=vec(F)/m$[tex]=\begin{pmatrix}
4\\
-2t\end{pmatrix}[/tex] , e poi:
[tex]\int_{0}^{t}\overrightarrow{a}\textrm{d}t=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}_0[/tex] ,
con lo stesso seguito che ti abbiamo indicato io e Cuspide83.
Tu sai che il secondo principio della dinamica del punto materiale afferma che
\[\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{d}{dt}\vec{v}=\frac{d}{dt}m\vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{p}\]
con \(\vec{p}\) ho indicato la quantità di moto del punto. Ora riprendiamo la nostra relazione, la riscriviamo in forma equivalente e la integriamo
\[\vec{F}dt=d\vec{p}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{J}=\int^{t}_{t_{0}}{\vec{F}dt}=\int^{\vec{p}}_{\vec{p}_{0}}{d\vec{p}}=\Delta\vec{p}\]
\[\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{d}{dt}\vec{v}=\frac{d}{dt}m\vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{p}\]
con \(\vec{p}\) ho indicato la quantità di moto del punto. Ora riprendiamo la nostra relazione, la riscriviamo in forma equivalente e la integriamo
\[\vec{F}dt=d\vec{p}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{J}=\int^{t}_{t_{0}}{\vec{F}dt}=\int^{\vec{p}}_{\vec{p}_{0}}{d\vec{p}}=\Delta\vec{p}\]
"Palliit":
[quote="BinaryMind"]Non l'ho ancora studiato quel teorema.
Allora puoi vederla così:
$vec(a)=vec(F)/m$[tex]=\begin{pmatrix}
4\\
-2t\end{pmatrix}[/tex] , e poi:
[tex]\int_{0}^{t}\overrightarrow{a}\textrm{d}t=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}_0[/tex] ,
con lo stesso seguito che ti abbiamo indicato io e Cuspide83.[/quote]
Perfetto.
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