Forza di Lorentz
Due binari parallleli di materiale conduttore sono posti in un piano orizzontale a distanza $ h $ uno dall'altro e collegati ad un estremo da un filo conduttore. una semicirconferenza di materiale conduttore scorre con velocità $ veci $ costante sui binari. Il sistema è immerso in un campo magnetico $ vecB $ uniforme, perpendicolare al piano dei binari (verso uscente).nell'ipotesi che la resistenza dei binari sia trascurabile e che quella della semicirconferenza sia R, si determini:
a) la fem indotta nel circuito;
b) la potenza dissipata nella semicirconferenza per effetto Joule;
c) la forza che deve essere applicata alla semicirconferenza per mantenere costante la velocità.
i primi due punti li ho fatti, per quanto riguarda il punto c) io farei cosi:
$ F_L=int_(semicir)iBdl $
dove ho precedentemente trovato $ i=(Bhv)/R $ che gira in senso orario.
il mio dubbio sta negli estremi di integrazione, io integrerei da $ 0 $ a $ pi(h/2) $ dove $ pih/2 $ è la lunghezza della semicirconferenza, però cosi facendo non mi esce il risultato esatto. se invece integrassi da $ 0 $ ad $ h $ troverei il risultato esatto ma non capisco perche bisogna fare cosi.
a) la fem indotta nel circuito;
b) la potenza dissipata nella semicirconferenza per effetto Joule;
c) la forza che deve essere applicata alla semicirconferenza per mantenere costante la velocità.
i primi due punti li ho fatti, per quanto riguarda il punto c) io farei cosi:
$ F_L=int_(semicir)iBdl $
dove ho precedentemente trovato $ i=(Bhv)/R $ che gira in senso orario.
il mio dubbio sta negli estremi di integrazione, io integrerei da $ 0 $ a $ pi(h/2) $ dove $ pih/2 $ è la lunghezza della semicirconferenza, però cosi facendo non mi esce il risultato esatto. se invece integrassi da $ 0 $ ad $ h $ troverei il risultato esatto ma non capisco perche bisogna fare cosi.
Risposte
Quando scrivi: $ F_L=int_(semicir)iBdl $ intendi scrivere una relazione vettoriale? Immagino di sì, perchè tutte le $dF_L$ hanno direzioni diverse...
Direi che ti puoi semplificare la vita considerando che le componenti y della corrente hanno somma zero, per simmetria, per cui alla fine puoi immaginare che al posto della semicirconferenza ci sia una retta, e tutto rimane come prima. Non solo nel punto c), ma anche negli altri due. Magari potresti pensare a come dimostrare questa cosa in modo più formale di quanto abbia fatto io
Direi che ti puoi semplificare la vita considerando che le componenti y della corrente hanno somma zero, per simmetria, per cui alla fine puoi immaginare che al posto della semicirconferenza ci sia una retta, e tutto rimane come prima. Non solo nel punto c), ma anche negli altri due. Magari potresti pensare a come dimostrare questa cosa in modo più formale di quanto abbia fatto io
non ho capito a cosa ti riferisci.
io so che $ dvecF=i dvecl xxvecB $ quindi per trovare $ vecF $ devo integrare. a questo punto non so se devo integrale sul percorso della semicirconferenza o se devo integrare sulla distanza tra l'inizio e la fine della semicirconferenza (quindi $ h $ )
io so che $ dvecF=i dvecl xxvecB $ quindi per trovare $ vecF $ devo integrare. a questo punto non so se devo integrale sul percorso della semicirconferenza o se devo integrare sulla distanza tra l'inizio e la fine della semicirconferenza (quindi $ h $ )
Volevo dire che non ti serve integrare i vettori $ dvecF$, ti basta integrare solo la componente x, ossia usare solo la componente y di $dvecl$, e chiaramente integrare lungo il diametro (e, a questo punto, non è più un integrale, ma una moltiplicazione). Cioè, è lo stesso che il filo abbia la forma di una semicirconferenza ovvero del diametro.
grazie
ma se il filo conduttore è lungo $ h/2pi $ perche la forza non è $ F=ihpi/2B $ ma invece è $ F=ihB $ ? ho chiesto a due professori diversi e hanno dato risposte contrastanti, uno sostiene sia giusto il primo risultato , l'altro il secondo.
Perchè non conta tutta la lunghezza del filo, ma solo la sua proiezione sull'asse y. In realtà è la forza di Lorentz di ogni elemento infinitesimo che va considerata solo per la sua componente x, ma alla fine tutto è come se il filo seguisse il diametro
Un pò di domande che mi sono sorte leggendo le vostre risposte
1) che significa la ''componente y della corrente''? Mica è un vettore?
2) scritto in forma vettoriale:
$d\vecF = (dF_x , dF_y, 0)$
$vecB=(0,0,B_z)$
$d\vecl= (dl_x , dl_y, 0) =(dl_x, h,0)$
quanto vale $dl_x$?
3) la componente finita di F lungo x quindi si trova tramite la relazione che mi esce dal prodotto vettoriale e dunque:
$F_x = I(l_y B_z - l_z B_y) = I l_y B_z = I h B$
ma non ho capito, come si vede ''matematicamente'' che ci serve proprio la $F_x$? senza 'ragionare' fisicamente nel senso come ha fatto °°mgrau
1) che significa la ''componente y della corrente''? Mica è un vettore?
2) scritto in forma vettoriale:
$d\vecF = (dF_x , dF_y, 0)$
$vecB=(0,0,B_z)$
$d\vecl= (dl_x , dl_y, 0) =(dl_x, h,0)$
quanto vale $dl_x$?
3) la componente finita di F lungo x quindi si trova tramite la relazione che mi esce dal prodotto vettoriale e dunque:
$F_x = I(l_y B_z - l_z B_y) = I l_y B_z = I h B$
ma non ho capito, come si vede ''matematicamente'' che ci serve proprio la $F_x$? senza 'ragionare' fisicamente nel senso come ha fatto °°mgrau
"ludwigZero":
1) che significa la ''componente y della corrente''? Mica è un vettore? No?
2) scritto in forma vettoriale:
$d\vecF = (dF_x , dF_y, 0)$
$vecB=(0,0,B_z)$
$d\vecl= (dl_x , dl_y, 0) =(dl_x, h,0)$ Direi, $dh$
quanto vale $dl_x$?
Dato dl, hai $dx = dl sin theta$ e $dy = dl cos theta$
3) la componente finita di F lungo x quindi si trova tramite la relazione che mi esce dal prodotto vettoriale e dunque:
$F_x = I(l_y B_z - l_z B_y) = I l_y B_z = I h B$
ma non ho capito, come si vede ''matematicamente'' che ci serve proprio la $F_x$? senza 'ragionare' fisicamente nel senso come ha fatto °°mgrau Se ci tieni, puoi trovare l'integrale completo di F, salvo accorgerti poi che le componenti y si azzerano nell'integrale, però, se te ne accorgi prima, è meglio
@mgrau, metti che non so accorgermene per poca ''esperienza'', cerco di vederla secondo prodotti vettoriali e integrali.
Con il prodotto vettoriale viene:
$d\F= [\vecx (dl_y B) - \vecy (dl_x B)] I$
$\vecF =\int d\vecF = [ \vecx \int dl cos\theta d\theta - \vecy \int dl sin\theta d\theta] I B$
integro da $0$ a $\pi/2$ e moltiplicare tutto l'integrale per 2, dato che io prendo come riferimento degli assi cartesiani con l'origine coincidente con il centro del semicerchio conduttore.
giusto fin qui?
Con il prodotto vettoriale viene:
$d\F= [\vecx (dl_y B) - \vecy (dl_x B)] I$
$\vecF =\int d\vecF = [ \vecx \int dl cos\theta d\theta - \vecy \int dl sin\theta d\theta] I B$
integro da $0$ a $\pi/2$ e moltiplicare tutto l'integrale per 2, dato che io prendo come riferimento degli assi cartesiani con l'origine coincidente con il centro del semicerchio conduttore.
giusto fin qui?
Bisognerebbe capire cos'è $theta$. Così si capirebbe anche perchè integri fino a $pi/2$ e non fino a $pi$ come mi immagino io. Poi moltiplichi per 2, immagino perchè vedi una simmetria, ma forse è così per x e non per y, dove probabilmente c'è un'antisimmetria. E poi forse c'è uno scambio fra cos e sin, visto che mi aspetto che la componente y si azzeri, e questo, fra $0$ e $pi$ avviene con il coseno, e non col seno.
la simmetria invece la vedo così, come se fosse la stessa figura, quindi la stessa area sottesa, per rotazione attorno a x (non so se dica così) ecco perchè metterei 2, quindi se quello è il pezzettino $dl$, va integrato su angoli sottesi $d\theta$. Evidentemente è qui che sbaglio...
Nella tua figura, la forza che agisce su $dl$ ha direzione radiale, la componente x vale $dFcos theta$ e quella y vale $dF sin theta$. L'integrale di entrambe le componenti fra $0$ e $pi/2$ è positivo. Però gli stessi integrali nella metà di sotto non sono uguali: per $F_x$ sì, ma $F_y$ cambia segno, quindi non puoi moltiplicare per 2. Dovresti semmai integrare fra $-pi/2$ e $pi/2$ se proprio non vuoi accorgerti che le due componenti $F_y$ si azzerano fra loro.
allora a posto di dF che cosa metto, $dF = dl I B$ ?
quindi l'integrale diviene:
$\int_(-pi/2)^(+pi/2) [\vecx (dF cos \theta) + \vecy (dF sin\theta)]$
cosi?
quindi l'integrale diviene:
$\int_(-pi/2)^(+pi/2) [\vecx (dF cos \theta) + \vecy (dF sin\theta)]$
cosi?
Ho fatto l'integrale, e infatti lungo $\vecy$ è 0, mentre lungo $\vecx$ è 2
Ora però ho un altro dubbio, fuori come costanti escono B ed I, mentre dentro l'integrale c'è ancora $dl$ che lungo $\vecx$ esce fuori come $h/2$ mentre lungo $\vecy$ esce come il diametro $h$
quindi il risultato finale è:
$\vecF=\vecx (2 h/2 I B) = \vecx (h I B)$
giusto?
Ora però ho un altro dubbio, fuori come costanti escono B ed I, mentre dentro l'integrale c'è ancora $dl$ che lungo $\vecx$ esce fuori come $h/2$ mentre lungo $\vecy$ esce come il diametro $h$
quindi il risultato finale è:
$\vecF=\vecx (2 h/2 I B) = \vecx (h I B)$
giusto?
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