Forza di attrito

[cucinolu951]

Buonasera a tutti, avrei bisogno di una mano per la risoluzione di un problema di fisica 1.

Nel sistema in figura, M può scivolare senza attrito sul piano orizzontale, invece c'è attrito tra m ed M. i coefficienti sono µd e µs. filo inestensibile e massa della fune e della carrucola trascurabile. Determinare il valore F0 di F superato il quale inizia il moto relativo tra i due blocchi. determinare l'accelarazione della carrucola se F vale F=2F0.


Allora io ho pensato di procedere in questo modo per il primo punto:
la forza di attrito tra i due corpi è quella di attrito statico dato che non c'è moto relativo tra i due corpi.
Ho scritto il seguente sistema
$ { ( T-fs=ma ),( T+fs=Ma ),( F=2T ):} $
devo considerare fs=µsN=µsmg?

Nel secondo caso invece, considero la forza di attrito dinamico (posso scriverla come fd=µdmg). Mi viene un dubbio su come procedere: i due blocchi devono muoversi con stessa accelerazione dato che sono collegati da una fune inestensibile, avvolta su una carrucola ideale. Per scrivere le condizioni cinematiche per l'accelerazione della carrucola mi verrebbe da scrivere in questo modo:
$ A=(a+a)/2 $ e dato che le a sono uguali ottengo che A=a . è corretto?

Grazie mille in anticipo

[Shackle]

Supponi di applicare, inizialmente, una forza $F$ inferiore a quella massima $F_0$ alla quale corrisponde l'inizio del moto relativo tra m ed M . Vuol dire che le due masse restano attaccate dall'attrito. Il che significa che l'accelerazione del sistema è data semplicemente da $a = F/(m+M)$.
D'altronde , se sommi membro a membro le due equazioni che hai scritto, ottieni :

$2T=(M+m)a$

perciò è giusto che $F=2T$

Ora, se $F$ cresce, cresce pure $T$ , finchè ad un certo punto inizia il moto relativo. Quando ? Quando la $T$ applicata a $m$ supera il massimo valore di resistenza di attrito statico $\mu_smg$ tra i corpi. E quindi è giusta la prima tua idea.

Come prosegue il moto del sistema ? L'accelerazione del centro di massa dipende dalle sole forze esterne, la forza di attrito dinamico tra i due corpi è una forza interna, che non modifica lo stato di moto del sistema stesso, una volta iniziato. Per $M$ è rivolta in avanti, per $m$ è all'indietro. Se riscrivi le due equazioni di prima, mettendo $f_d$ al posto di $f_s$ , non cambia niente , le tensioni sono uguali e naturalmente la loro somma vale, in base ai dati : $2F_0$ , che è la forza che accelera il sistema .

Salvo errori , naturalmente . Gli errori sono sempre in agguato !

[cucinolu951]

Non riuscirò mai a ringraziarti abbastanza
quindi, scusa una cosa, dato che la carrucola è ideale e che la fune è inestensibile è corretta la relazione cinematica che ho scritto? perchè fune e carrucola sono in contatto e quindi tutti i punti avranno la medesima accelerazione

[Shackle]

Sulla domanda che fai , devo pensarci un po' . Non vorrei dire scemenze. A prima vista direi di sí, ma penso che si debba scrivere la 2º eq. della dinamica per ciascuna massa. A volte l'intuito inganna .
D'altronde, essendo il filo inestensibile, le due accelerazioni delle due masse sono uguali:

$ma = T-f_d$
$Ma = T+f_d$

da cui : $a = (2T)/(m+M) $ .

Sostituendo nella prima eq. si ricava la forza di attrito dinamico : $f_d = T (M-m)/(M+m) $

e anche sostituendo nella 2º eq. si ricava lo stesso valore, ovviamente : $ f_d = T (M-m)/(m+M) $

Essendo le forze di attrito interne al sistema , la forza che causa l'accelerazione delle due masse è solo quella applicata alla puleggia . E quindi la $a$ prima ricavata è anche l'accelerazione della puleggia.
Speriamo di non sbagliare!

[Studente Anonimo]

@ cucinolu95

Premesso che si ha moto relativo se e solo se $M ne m$, si devono considerare due casi:

1. $[M gt m]$

$\{(Ma_M=T+\mu_dmg),(ma_m=T-\mu_dmg),(0=F-2T):} rarr \{(a_M=(F+2\mu_dmg)/(2M)),(a_m=(F-2\mu_dmg)/(2m)):}$

2. $[M lt m]$

$\{(Ma_M=T-\mu_dmg),(ma_m=T+\mu_dmg),(0=F-2T):} rarr \{(a_M=(F-2\mu_dmg)/(2M)),(a_m=(F+2\mu_dmg)/(2m)):}$

Evidentemente, si ha moto relativo se e solo se le due accelerazioni sono diverse. Per scrupolo:

$[a_M=a_m] harr [F=(2\mu_dmg(M+m))/|M-m|]$

condizione impossibile visto che $[F_0=(2\mu_smg(M+m))/|M-m|] ^^ [F gt F_0]$

Per quanto riguarda l'accelerazione della carrucola:

$[a_c=(a_M+a_m)/2]$

[cucinolu951]

Grazie mille per la precisazione, gentilissimo
Però mi viene un dubbio, perchè tempo fa ho fatto una domanda simile e mi era stato risposto (almeno da quello che ho capito io) che il fatto che fosse presente la forza d'attrito non influenzasse il valore dell'accelerazione, perchè la fune è inestensibile e deve essere quindi che i due corpi abbiano stessa accelerazione (carrucola da considerarsi ideale). Magari ho male interpretato la risposta. Attendo chiarimento.

[Studente Anonimo]

Nel sistema di riferimento solidale alla carrucola, le due accelerazioni relative sono opposte. Proprio per questo, considerando le accelerazioni assolute:

$[a_M-a_c=-a_m+a_c] rarr [a_c=(a_M+a_m)/2]$

[cucinolu951]

Quindi in questo particolare caso le due accelerazioni assolute non sono uguali, nonostante la fune inestensibile, per la presenza della carrucola? Scusa, ma se non capisco bene non mi do pace.

[Studente Anonimo]

Il fatto che la fune sia inestensibile determina l'uguaglianza in modulo delle sole accelerazioni relative. Non si comprende perché dovrebbero essere uguali quelle assolute. Tra l'altro, se così fosse, non si avrebbe nemmeno un moto relativo dei due corpi.

[cucinolu951]

Okok adesso mi è chiaro, ho riflettuto su altri problemi simili (vedi due masse , collegate da una fune e poggiate su un cuneo mobile: impongo che abbiano stessa acc relativa non quella assoluta. Non riuscivo a immaginare bene la situazione). Grazie mille, gentilissimo.