Forza di attrito
Evito di uppare una vecchia discussione ma ne "rubo" il testo:
Ho un corpo (il quadrato grigio) di massa $m=1kg$ che viene lasciato cadere da fermo dal punto A.
Il tratto A-B è un quarto della circonferenza di raggio $r=2m$.
Se, inoltre, il tratto $AB$ ha coefficiente di attrito dinamico $0,20$, trovare la velocità nel punto $B$.
Per trovare la velocità senza attrito applico la legge di conservazione dell'energia meccanica. Ma nel caso in cui ci fosse attrito come dovrei fare? Normalmente calcolo la forza di attrito mediante la $F_att=F_N\mu$, ma in questo caso come dovrei fare??
Grazie in anticipo
Risposte
Prendi $\theta$ come l'angolo fra il raggio con estremo B e quello con estremo il corpo.
La forza peso ha componente normale $- g \cos\theta$ e dunque la decelerazione dell'attrito è $\mu g \cos\theta$.
Dunque per la variazione del modulo della velocità vale:
$\frac{dv}{dt} = - \mu \g \cos \theta + g \sin \theta$
dove ho incluso anche l'effetto della forza peso stessa.
Riscritto in termini di $\theta$ recita:
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = \frac{g}{r} (\mu \cos \theta - \sin\theta) $
Questo è un problema del tipo $\ddot{x} = - \frac{dU}{dx}$, ovvero l'equazione del moto di un punto materiale in una dimensione sotto l'effetto del potenziale (specifico) $U$. Allora si conserva "l'energia" (non è l'energia del corpo originale):
$E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 + U(\theta)$
con $U(\theta)= \frac{g}{r}( -\mu \sin\theta - \cos\theta)$. A questo punto dovresti avere tutte le informazioni necessarie, basta imporre $E_i$ = $E_f$ e trovare $\dot\theta_f$ e dunque $v_f$.
Nota: la massa non è importante ai fini della soluzione. Questo era immaginabile visto che le forze in gioco sono proporzionali alla massa, e dunque le accelerazioni ne sono indipendenti.
La forza peso ha componente normale $- g \cos\theta$ e dunque la decelerazione dell'attrito è $\mu g \cos\theta$.
Dunque per la variazione del modulo della velocità vale:
$\frac{dv}{dt} = - \mu \g \cos \theta + g \sin \theta$
dove ho incluso anche l'effetto della forza peso stessa.
Riscritto in termini di $\theta$ recita:
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = \frac{g}{r} (\mu \cos \theta - \sin\theta) $
Questo è un problema del tipo $\ddot{x} = - \frac{dU}{dx}$, ovvero l'equazione del moto di un punto materiale in una dimensione sotto l'effetto del potenziale (specifico) $U$. Allora si conserva "l'energia" (non è l'energia del corpo originale):
$E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 + U(\theta)$
con $U(\theta)= \frac{g}{r}( -\mu \sin\theta - \cos\theta)$. A questo punto dovresti avere tutte le informazioni necessarie, basta imporre $E_i$ = $E_f$ e trovare $\dot\theta_f$ e dunque $v_f$.
Nota: la massa non è importante ai fini della soluzione. Questo era immaginabile visto che le forze in gioco sono proporzionali alla massa, e dunque le accelerazioni ne sono indipendenti.
"hamilton":
Prendi $\theta$ come l'angolo fra il raggio con estremo B e quello con estremo il corpo.
La forza peso ha componente normale $- g \cos\theta$ e dunque la decelerazione dell'attrito è $\mu g \cos\theta$.
Dunque per la variazione del modulo della velocità vale:
$\frac{dv}{dt} = - \mu \g \cos \theta + g \sin \theta$
dove ho incluso anche l'effetto della forza peso stessa.
Ok fin qui ci sono
"hamilton":
Riscritto in termini di $\theta$ recita:
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = \frac{g}{r} (\mu \cos \theta - \sin\theta) $
Questo è un problema del tipo $\ddot{x} = - \frac{dU}{dx}$, ovvero l'equazione del moto di un punto materiale in una dimensione sotto l'effetto del potenziale (specifico) $U$. Allora si conserva "l'energia" (non è l'energia del corpo originale):
$E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 + U(\theta)$
con $U(\theta)= \frac{g}{r}( -\mu \sin\theta - \cos\theta)$. A questo punto dovresti avere tutte le informazioni necessarie, basta imporre $E_i$ = $E_f$ e trovare $\dot\theta_f$ e dunque $v_f$.
Nota: la massa non è importante ai fini della soluzione. Questo era immaginabile visto che le forze in gioco sono proporzionali alla massa, e dunque le accelerazioni ne sono indipendenti.
Non capisco questa parte..perché scriverlo in funzione dell'angolo (e che calcoli hai fatto?o.o)
Per la mia soluzione che formula devo usare? Mi sono un po' perso
Grazie ancora
soluzione alternativa
la quantità $1/2mv_B^2$ è uguale al lavoro totale,somma algebrica del lavoro della forza peso e del lavoro della forza di attrito
$1/2mv_B^2=mgR- int_(0)^(pi/2) mumgcostheta(R d theta) $
la quantità $1/2mv_B^2$ è uguale al lavoro totale,somma algebrica del lavoro della forza peso e del lavoro della forza di attrito
$1/2mv_B^2=mgR- int_(0)^(pi/2) mumgcostheta(R d theta) $
"stormy":
soluzione alternativa
la quantità $1/2mv_B^2$ è uguale al lavoro totale,somma algebrica del lavoro della forza peso e del lavoro della forza di attrito
$1/2mv_B^2=mgR- int_(0)^(pi/2) mumgcostheta(R d theta) $
Sviluppandola avrei quindi:
$mgR- [mumgsenthetaR]^(pi/2)$??
esatto
Ok il tuo metodo l'ho capito! Grazie mille!
Attendo la risposta di Hamilton ora
Attendo la risposta di Hamilton ora
hai capito perchè il lavoro della forza di attrito si calcola con quell'integrale ?
Si, perché l'angolo varia tra $0$ e $pi/2$
ok,allora tutto a posto 
L'unico mio dubbio era sull'integrazione perché non ho mai fatto un esercizio di Fisica utilizzando gli integrali (ebbene si!). Ovviamente so integrare ma ho preferito chiedere per sicurezza
Danke
Danke
"stormy":
soluzione alternativa
$1/2mv_B^2=mgR- int_(0)^(pi/2) mumgcostheta($R$ d theta)$
Domanda: perché hai moltiplicato anche per $R$? L'attrito non è dato da: $F_N*mu_d=mgcosthetamu_d$?
ah dannazione lo sapevo che c'era un modo facile.
Scusa per averti confuso le idee!
Scusa per averti confuso le idee!
"hamilton":
ah dannazione lo sapevo che c'era un modo facile.
Scusa per averti confuso le idee!
Figurati, sono comunque interessato anche al tuo metodo
Se mi levi quei dubbi che ho scritto ti ringrazio
"Return89":
Domanda: perché hai moltiplicato anche per $R$? L'attrito non è dato da: $F_N*mu_d=mgcosthetamu_d$?
L'$R$ non viene dalla forma della forza d'attrito ma dal differenziale di spostamento ($dW = F \cdot ds$, $|ds| = R d\theta $)
Riguardo al ragionamento che ti ho presentato io, è una tecnica molto generale (forse un po' pesante per il contesto, lo ammetto...) per i sistemi 1-dimensionali.
Metti tutto da parte e considera questo: un punto materiale che si muove in una dimensione sotto l'effetto di una forza che dipende solo dalla sua posizione. Precisamente intendo, una roba che abbia un'equazione del moto del tipo:
$m \ddot x = F(x)$
siccome della $m$ non ce ne frega, dividiamo e scriviamo: ($A(x) := F(x)/m$)
$\ddot x = A(x)$. (1)
Ora considera questo: il lavoro compiuto dalla forza $F$ (o $A$, non cambia) per spostare il punto da $x_A$ a $x_B$ è:
$\int_{x_A}^{x_B} A dx$
e chiaramente, questo integrale non dipende dal percorso, perché, banalmente, a meno di andare avanti e indietro (manovra che dà contributo nullo), c'è di fatto un unico percorso. Quindi il lavoro non dipende dal cammino ma solo dagli estremi e la forza è conservativa. Tutte le possibili $A$ sono conservative.
Questa cosa vale solo in dimensione 1; in dimensione superiore, abbiamo che essere conservativa per una forza è una condizione stringente (tra l'altro con un complicato rapporto fra questioni globali e locali). Invece in una dimensione è chiaro che deve valere così.
Allora si può costruire un'energia potenziale associata, in maniera assolutamente banale. Si prenda un punto base $x_0$ (quale non è importante) e si ponga:
$U(x) = - \int_{x_0}^{x} A(y) dy$ (ricordare la def di energia potenziale) che equivale a $F = - \frac{dU}{dx}$
Allora sappiamo che è conservata l'energia meccanica del punto:
$\frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m U (x)$
(per capire il fattore $m$ a fronte della $U$, nota che nella definizione di $U$ ho usato $A$ invece di $F$. Questo è perché odio la $m$ e in generale tutti i parametri inutili)
E quindi definisco $e = \frac{1}{2} \dot{x}^2 + U(x)$ (che è l'energia specifica) la quale è conservata. Se non fosse chiaro, basta fare la derivata temporale di $e$ e usare l'equazione del moto.
Ora il punto potente è:
non è importante da dove sia venuta fuori la (1). In particolare: non importa se si tratta veramente di un punto materiale in una dimensione. Le considerazioni fatte valgono in generale per qualsiasi equazione della forma (1). Chiaramente la $e$ non è l'energia di un bel niente e $A$ in generale non è una forza o un'accelerazione in senso stretto. Eppure valgono le stesse relazioni matematiche ed in particolare $e$ è conservata.
Dunque.
Quello che ho fatto è notare che il sistema che mi hai presentato è de facto 1-dimensionale, nel senso che si può descrivere la configurazione in termini di un solo parametro (il corpo si muove su una curva, non è libero di muoversi in due dimensioni). Allora scelgo come parametro $\theta$ (ma se ti rende più a tuo agio, e in effetti è più chiaro, puoi usare il parametro d'arco $s$, la distanza percorsa sulla circonferenza)
Insomma vedi chiaramente considerando le componenti delle forze (grav e attrito) parallele alla tangente alla circonferenza che per $s$ vale l'equazione del moto:
$\ddot{s} = g (\mu \cos\theta - \sin\theta)$
(i segni e seni/coseni potranno cambiare a seconda di dove fai partire $s$ e in che verso vai, ma la fisica non cambia)
e siccome $s = r \theta$ trovi la forma che ti ho dato io. Questa è un'equazione del tipo (1), identica. O meglio, dobbiamo verificare l'ipotesi che la forza dipenda solo da $\theta$; questa ipotesi è soddisfatta finché il corpo non cambia verso di rotazione (ma questo ovviamente nel nostro caso non succede). Ho trovato la sua $U$ integrando, poi ho calcolato la $e$ all'inizio e alla fine.
Le ho uguagliate, e ho trovato un equazione quadratica* per $\omega = \dot{\theta}$. Questa è la "velocità" del problema 1-dimensionale, ma non è la velocità del tuo sistema! Quella è $v = r \omega$. E qui concludi.
Sembra ed è un ragionamento troppo complesso ma è molto generale e si applica a tutti i sistemi descrivibili con un'unica coordinata. La difficoltà è solo concettuale, i calcoli sono gli stessi della soluzione di stormy.
* se avessi trovato che l'equazione non aveva soluzioni, voleva dire semplicemente che l'attrito è talmente forte da far fermare il corpo prima; quest'ultimo non raggiunge il punto B.
Wow..ok più o meno ho capito il tutto anche se come hai detto te forse è meglio utilizzare una forma più "semplice"
Grazie davvero!!
Grazie davvero!!
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