Forza conservativa implica forza posizionale

[enpires1]

Salve a tutti!
Studiando meccanica razionale, il libro afferma che affinchè il lavoro elementare
[tex]\mathrm{d} L= \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}P[/tex]
compiuto dalla forza [tex]\mathbf{F}[/tex] nello spostamento elementare [tex]\mathrm{d}P[/tex] sia una forma differenziale esatta, è condizione necessaria che la forza sia posizionale, ovvero che [tex]\mathbf{F}[/tex] dipenda solo da [tex]x,y,z[/tex] e non da [tex]\dot{x},\dot{y},\dot{z},t[/tex].

Ho qualche difficoltà nel capire la dimostrazione, il libro fa così (riassumo):

Data la funzione
[tex]\mathbf{F}(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t)=\left ( F_x,F_y,F_z \right )[/tex]
dalla Teorema di Schwarz si ricava immediatamente che
[tex]\frac{\partial F_x}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial F_x}{\partial \dot{y}}=\frac{\partial F_x}{\partial \dot{z}}=\frac{\partial F_x}{\partial \dot{t}}=0[/tex]
ovvero [tex]F_x[/tex] non può dipendere da velocità o tempo

Ora, non capisco questa uguaglianza con 0 da dove esce fuori.
L'ipotesi che ho fatto è che, dovendo valere Schwarz, si ha che (ad esempio)
[tex]\frac{\partial F_{\dot{x}}}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial \dot{x}}[/tex]
e quindi, dal momento che [tex]F_{\dot{x}}[/tex] non esiste, si ha
[tex]\frac{\partial F_{\dot{x}}}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial \dot{x}} = 0[/tex]
e così via per tutte.

La motivazione però non mi convince perchè mi pare che [tex]F_{\dot{x}}[/tex] non abbia senso, in quanto [tex]\mathbf{F}:\mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^3[/tex]

[yoshiharu]

"enpires":
L'ipotesi che ho fatto è che, dovendo valere Schwarz, si ha che (ad esempio)
[tex]\frac{\partial F_{\dot{x}}}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial \dot{x}}[/tex]
e quindi, dal momento che [tex]F_{\dot{x}}[/tex] non esiste, si ha
[tex]\frac{\partial F_{\dot{x}}}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial \dot{x}} = 0[/tex]
e così via per tutte.

La motivazione però non mi convince perchè mi pare che [tex]F_{\dot{x}}[/tex] non abbia senso, in quanto [tex]\mathbf{F}:\mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^3[/tex]

In questi termini, piu' che pensare al "vettore" di [tex]\mathbb R ^7[/tex], io mi concentrerei sullo scrivere la forma $dL$
[tex]dL = F_x dx + \cdots + F_t dt[/tex]

Hai una forma le cui componenti "lungo" $d\dot x$ etc. si annullano, e ne discende il ragionamento che riporti sopra. Insomma, le conponenti di $F$ sono i coefficienti delle forme di base $dx$, $dy$ etc.

D'altro canto e' piu' semplice pensare che se vuoi che il lavoro non dipenda dal percorso, deve esistere una funzione (0-forma) il cui differenziale sia $dL$, e le componenti della forza (in un certo sistema di coordinate) sono le derivate di questa funzione rispetto alle coordinate del punto.

bye^2, mr