Forza Centripeta
Buongiorno
non sono molto ferrato con la forza centripeta. Potreste dirmi se lo svolgimento di questo esercizio è corretto?
Un auto di massa m viaggia inizialmente a velocità costante (in folle e in assenza di attrito) fino a che non si trova a risalire un pendio che può essere approssimato ad un arco di circonferenza AB di raggio r e angolo α= 20°. Si vuole sapere qual è la velocità critica dell'auto Vc oltre la quale essa staccherà le ruote anteriori dal suolo in B.
SVOLGIMENTO
Perché le ruote anteriori si stacchino dal suolo la Forza Centripeta Fc deve superare in B la Forza Peso della parte anteriore dell'auto equivalente a \(\displaystyle \frac{m}{2}*g \) Newton.
Quindi deve essere soddisfatta:
\(\displaystyle Fc = (\frac{m}{2} * \frac{Vb^2}{r}) > Fp = (\frac{\frac{m}{2} * g}{cos(20)}) \)
ovvero
\(\displaystyle Vc = \sqrt{\frac{g*r}{cos(20)}}\)
non sono molto ferrato con la forza centripeta. Potreste dirmi se lo svolgimento di questo esercizio è corretto?
Un auto di massa m viaggia inizialmente a velocità costante (in folle e in assenza di attrito) fino a che non si trova a risalire un pendio che può essere approssimato ad un arco di circonferenza AB di raggio r e angolo α= 20°. Si vuole sapere qual è la velocità critica dell'auto Vc oltre la quale essa staccherà le ruote anteriori dal suolo in B.
SVOLGIMENTO
Perché le ruote anteriori si stacchino dal suolo la Forza Centripeta Fc deve superare in B la Forza Peso della parte anteriore dell'auto equivalente a \(\displaystyle \frac{m}{2}*g \) Newton.
Quindi deve essere soddisfatta:
\(\displaystyle Fc = (\frac{m}{2} * \frac{Vb^2}{r}) > Fp = (\frac{\frac{m}{2} * g}{cos(20)}) \)
ovvero
\(\displaystyle Vc = \sqrt{\frac{g*r}{cos(20)}}\)
Risposte
Non credo che sia quello il risultato.
Supponendo attriti nulli hai 2 effetti di cui devi tener conto:
1) la velocità varia durante la salita per effetto della gravità. Come varia lo puoi trovare in base alla conservazione dell'energia e questo ti fornisce una relazione tra VB e VA
2) scrivendo l'equilibrio in senso radiale tra peso proiettato in tale direzione, reazione normale e forza centripeta, si vede che fattore critico è il fatto che la reazione normale si riduce via via fino al punto in cui si annulla. Quando si annulla si perde aderenza con il terreno per cui imponendo l'annullamento di N in B si trova un'ulteriore condizione che ti dice quanto vale VB.
E quindi sfruttando le due trovi il valore di VA critico. Prova così e sappimi dire se torna.
Supponendo attriti nulli hai 2 effetti di cui devi tener conto:
1) la velocità varia durante la salita per effetto della gravità. Come varia lo puoi trovare in base alla conservazione dell'energia e questo ti fornisce una relazione tra VB e VA
2) scrivendo l'equilibrio in senso radiale tra peso proiettato in tale direzione, reazione normale e forza centripeta, si vede che fattore critico è il fatto che la reazione normale si riduce via via fino al punto in cui si annulla. Quando si annulla si perde aderenza con il terreno per cui imponendo l'annullamento di N in B si trova un'ulteriore condizione che ti dice quanto vale VB.
E quindi sfruttando le due trovi il valore di VA critico. Prova così e sappimi dire se torna.
Caro Ingres grazie mille dell'aiuto.
Spero di aver aggiustato il tiro. Lo svolgimento sarebbe il seguente:
Per la legge della conservazione dell'Energia in assenza di attrito:
\(\displaystyle \frac{mVa^2}{2} = \frac{mVb^2}{2} + mgh \) dove \(\displaystyle h = r -(r*cos(20)) \)
ovvero \(\displaystyle Vb^2 = Va^2-2gr(1-cos(20)) \)
D'altra parte in B si verifica che Fc - Fp┴ = 0, quindi:
\(\displaystyle \frac{mVb^2}{r} - \frac{mg}{cos(20)} = 0 \)
ovvero \(\displaystyle Vb^2 = \frac{gr}{cos(20)} \)
Dunque \(\displaystyle \frac{gr}{cos(20)} = Va^2 -2gr(1-cos(20)) \)
ovvero \(\displaystyle Vc = \sqrt{gr(\frac{1}{cos(20)} + 2*(1-cos(20)))} \)
Si denota, con mia sorpresa, che la massa dell'auto (che si consideri solo la parte anteriore o meno) non influisce sul distacco delle ruote anteriori. Mi sorge però un dubbio...
Se il vincolo centripeto proseguisse la Forza Normale si annullerebbe sulla verticale del pendio (a 180°), mentre in questo caso il vincolo (la guida circolare del pendio) viene a mancare appena dopo un arco di 20 gradi. Abbiamo imposto che la Fn si esaurisca in B ma normalmente non lo farebbe: non è che questo può alterare il risultato? E' corretto che la massa dell'auto sia ininfluente per determinare il valore della velocità critica?
Io pensavo così: venendo a mancare la Forza Normale all'improvviso in B l'auto tende a conservare la Fc secondo la direzione tangente e se Fc > Fp le ruote si staccano da terra.
Spero di aver aggiustato il tiro. Lo svolgimento sarebbe il seguente:
Per la legge della conservazione dell'Energia in assenza di attrito:
\(\displaystyle \frac{mVa^2}{2} = \frac{mVb^2}{2} + mgh \) dove \(\displaystyle h = r -(r*cos(20)) \)
ovvero \(\displaystyle Vb^2 = Va^2-2gr(1-cos(20)) \)
D'altra parte in B si verifica che Fc - Fp┴ = 0, quindi:
\(\displaystyle \frac{mVb^2}{r} - \frac{mg}{cos(20)} = 0 \)
ovvero \(\displaystyle Vb^2 = \frac{gr}{cos(20)} \)
Dunque \(\displaystyle \frac{gr}{cos(20)} = Va^2 -2gr(1-cos(20)) \)
ovvero \(\displaystyle Vc = \sqrt{gr(\frac{1}{cos(20)} + 2*(1-cos(20)))} \)
Si denota, con mia sorpresa, che la massa dell'auto (che si consideri solo la parte anteriore o meno) non influisce sul distacco delle ruote anteriori. Mi sorge però un dubbio...
Se il vincolo centripeto proseguisse la Forza Normale si annullerebbe sulla verticale del pendio (a 180°), mentre in questo caso il vincolo (la guida circolare del pendio) viene a mancare appena dopo un arco di 20 gradi. Abbiamo imposto che la Fn si esaurisca in B ma normalmente non lo farebbe: non è che questo può alterare il risultato? E' corretto che la massa dell'auto sia ininfluente per determinare il valore della velocità critica?
Io pensavo così: venendo a mancare la Forza Normale all'improvviso in B l'auto tende a conservare la Fc secondo la direzione tangente e se Fc > Fp le ruote si staccano da terra.
Molto meglio ! 
Quasi tutto giusto. L'unico errore mi sembra che sia nella condizione Fc - Fp┴ = 0 in cui il coseno deve essere al numeratore (si tratta di una proiezione della forza peso in senso radiale e quindi è impossibile che sia maggiore della forza peso stessa).
La verticale sarebbe a 90° non a 180° (dove l'auto sarebbe totalmente capovolta verso il basso), ma ovviamente per quanto veloce possa andare una normale auto perderà aderenza ben prima (tra l'altro siamo su strada liscia per cui è più probabile che slitti prima). Quindi non mi pare un risultato insensato e comunque è la richiesta del problema.
Più in generale per riuscire a superare i 180° ovvero compiere il "giro della morte" è necessario raggiungere velocità elevate, in modo che la forza centrifuga riesca a mantenere premuto il mezzo verso il vincolo e anche a vincere la gravità quando si superano i 90°.
Sul Forum ci sono parecchi post a riguardo. Ne inserisco solo qualcuno a titolo di esempio.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ?p=8343527
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ?p=8353027
Si, se vedi i post anche la velocità critica nel caso del giro della morte è indipendente dalla massa.
Non è proprio l'interpretazione corretta di quanto avviene. La reazione normale dipende dalla forza peso (componente radiale) e dalla forza centripeta (o centrifuga a seconda dei punti di vista), che però non è una vera forza ma è una forza fittizia, inerziale originata dal fatto che stiamo trattando un moto circolare. Nel momento in cui la componente della forza peso in senso radiale si riduce abbastanza, cessa di esistere anche la reazione normale e il corpo non può più proprio sostenere il moto circolare per cui non ha più senso parlare di Fc. E' un pò quello che succede dopo che un lanciatore di peso ha rilasciato l'attrezzo: a quel punto è solo una sfera con una certa velocità sottoposta alla gravità.
Quasi tutto giusto. L'unico errore mi sembra che sia nella condizione Fc - Fp┴ = 0 in cui il coseno deve essere al numeratore (si tratta di una proiezione della forza peso in senso radiale e quindi è impossibile che sia maggiore della forza peso stessa).
"Alex33":
Se il vincolo centripeto proseguisse la Forza Normale si annullerebbe sulla verticale del pendio (a 180°), mentre in questo caso il vincolo (la guida circolare del pendio) viene a mancare appena dopo un arco di 20 gradi. Abbiamo imposto che la Fn si esaurisca in B ma normalmente non lo farebbe: non è che questo può alterare il risultato?
La verticale sarebbe a 90° non a 180° (dove l'auto sarebbe totalmente capovolta verso il basso), ma ovviamente per quanto veloce possa andare una normale auto perderà aderenza ben prima (tra l'altro siamo su strada liscia per cui è più probabile che slitti prima). Quindi non mi pare un risultato insensato e comunque è la richiesta del problema.
Più in generale per riuscire a superare i 180° ovvero compiere il "giro della morte" è necessario raggiungere velocità elevate, in modo che la forza centrifuga riesca a mantenere premuto il mezzo verso il vincolo e anche a vincere la gravità quando si superano i 90°.
Sul Forum ci sono parecchi post a riguardo. Ne inserisco solo qualcuno a titolo di esempio.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ?p=8343527
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ?p=8353027
"Alex33":
E' corretto che la massa dell'auto sia ininfluente per determinare il valore della velocità critica?
Si, se vedi i post anche la velocità critica nel caso del giro della morte è indipendente dalla massa.
"Alex33":
Io pensavo così: venendo a mancare la Forza Normale all'improvviso in B l'auto tende a conservare la Fc secondo la direzione tangente e se Fc > Fp le ruote si staccano da terra.
Non è proprio l'interpretazione corretta di quanto avviene. La reazione normale dipende dalla forza peso (componente radiale) e dalla forza centripeta (o centrifuga a seconda dei punti di vista), che però non è una vera forza ma è una forza fittizia, inerziale originata dal fatto che stiamo trattando un moto circolare. Nel momento in cui la componente della forza peso in senso radiale si riduce abbastanza, cessa di esistere anche la reazione normale e il corpo non può più proprio sostenere il moto circolare per cui non ha più senso parlare di Fc. E' un pò quello che succede dopo che un lanciatore di peso ha rilasciato l'attrezzo: a quel punto è solo una sfera con una certa velocità sottoposta alla gravità.
Hai ragione Ingres... ho corretto l'errore:
\(\displaystyle \frac{mVb^2}{r}−mg*cos(20) = 0 \)
Quindi \(\displaystyle Vb^2 = gr*cos(20) \)
Sostituendo nell'equazione della conservazione dell'energia:
\(\displaystyle gr*cos(20) = Va^2-2gr(1-cos(20)) \)
Cioè \(\displaystyle Va = \sqrt{gr(2-Cos(20))} \)
Intendevo: visto che |N| = mg * sen(α) la Reazione Normale si annulla a 180° e non a 90°, dove compensa esattamente tutta la forza peso.
Lo capisco. Io avevo pensato erroneamente che se il peso dell'auto fosse stato tanto grande da vincere il lancio procurato dal pendio, allora l'auto non si sarebbe staccata dal suolo. Ma evidentemente dipende solo dalla velocità del corpo e non dalla sua massa.
Grazie per l'aiuto!
\(\displaystyle \frac{mVb^2}{r}−mg*cos(20) = 0 \)
Quindi \(\displaystyle Vb^2 = gr*cos(20) \)
Sostituendo nell'equazione della conservazione dell'energia:
\(\displaystyle gr*cos(20) = Va^2-2gr(1-cos(20)) \)
Cioè \(\displaystyle Va = \sqrt{gr(2-Cos(20))} \)
"ingres":
La verticale sarebbe a 90° non a 180° ...
Intendevo: visto che |N| = mg * sen(α) la Reazione Normale si annulla a 180° e non a 90°, dove compensa esattamente tutta la forza peso.
"ingres":
Nel momento in cui la componente della forza peso in senso radiale si riduce abbastanza, cessa di esistere anche la reazione normale e il corpo non può più proprio sostenere il moto circolare per cui non ha più senso parlare di Fc.
Lo capisco. Io avevo pensato erroneamente che se il peso dell'auto fosse stato tanto grande da vincere il lancio procurato dal pendio, allora l'auto non si sarebbe staccata dal suolo. Ma evidentemente dipende solo dalla velocità del corpo e non dalla sua massa.
Grazie per l'aiuto!
"Alex33":
Intendevo: visto che |N| = mg * sen(α) la Reazione Normale si annulla a 180° e non a 90°, dove compensa esattamente tutta la forza peso.
Al limite, in quiete e in questo caso, N = mg * cos(α), per cui si annulla a 90°. Ma attenzione: per α>90° vale comunque N=0.
Questo perché la reazione normale non è determinata dal peso, ma è la reazione del vincolo al tentativo di un corpo di penetrare il vincolo stesso, qualunque ne sia il motivo. Un corpo posto in verticale e appoggiato ad una parete non provoca nessuna reazione normale nella parete (e questo è comprensibile perché cos(α)=0) mentre un corpo posto su un soffitto non provoca nessuna reazione normale nonostante che sia cos(α)=-1, perché il corpo non preme sul soffitto, e infatti il corpo cade giù.
Nel caso del giro della morte nel punto più in alto è la forza centrifuga che tende a premere e a causare una reazione normale e non il peso (che anzi in quel caso tende a ridurre la reazione normale).
"Alex33":
Grazie per l'aiuto!
Figurati
Si vede che con la trigonometria faccio spesso qualche pasticcio...
In ogni caso, risolto l'esercizio, avrei bisogno di applicarlo ad una situazione reale, con la premessa che - verificata una velocità ragionevolmente costante - ne deduco che la forza motrice compensa esattamente l'attrito volvente (corretto?).
Siamo nel bel mezzo del Lunar Rover Grand Prix di Apollo 16. Tutti conoscono questa sequenza.
Ne posto cinquanta fotogrammi a 1 fps, nel momento in cui il Rover entra ed esce da un cratere impennandosi vistosamente.
Questi sono i dati che ho raccolto:
g= 1,62 m/s^2
Frame rate del video = 24 fps
Va= 2,6 m/s
Arco di circonferenza AB percorso in salita all'interno del cratere = Va x 11 fotogrammi x 24 fps = 1,12 m
Angolo di pendenza della risalita dal cratere α = 23,6° (la ruota sprofonda per circa 0,4 m e risale in circa 1 m)
Angolo sotteso all'arco di circonferenza in salita del cratere β = 2α = 47,2°
Raggio del cratere approssimato al cerchio = 1,357 m
Con questi dati ottengo \(\displaystyle Vb = \sqrt{Va^2 - 2gr(1-cos(β))} = 2,13 m/s \)
A questo punto per capire cosa succede dopo potrò utilizzare solo la legge oraria, ad esempio sull'asse Z:
\(\displaystyle Z(t) = Vbz*t + \frac{gt^2}{2} \) con \(\displaystyle Vbz = Vb*Cos(β) \)
Il problema nasce dal fatto che con i dati a disposizione la massima altezza dal suolo raggiunta dalla ruota del Rover sarebbe di 0,75 m e soltanto dopo 25 fotogrammi dal punto B (punto in cui finisce il cratere), con ritorno al suolo solo al fotogramma 47, cosa che non corrisponde affatto a quanto si rileva dal filmato: la massima elevazione è di poco più di 0,30 m e si raggiunge intorno al 12° fotogramma. Con il 24° fotogramma le ruote sono di nuovo a suolo.
Eppure ci sono prove consistenti a supporto del valore di Va (il Rover copre la distanza di interasse tra le due ruote di 2,29 m in circa 21 fotogrammi).
Qualcuno sa suggerirmi una possibile via di uscita oltre ai banali errori nei calcoli (cosa che dopo due giorni tenderei ad escludere)?
In ogni caso, risolto l'esercizio, avrei bisogno di applicarlo ad una situazione reale, con la premessa che - verificata una velocità ragionevolmente costante - ne deduco che la forza motrice compensa esattamente l'attrito volvente (corretto?).
Siamo nel bel mezzo del Lunar Rover Grand Prix di Apollo 16. Tutti conoscono questa sequenza.
Ne posto cinquanta fotogrammi a 1 fps, nel momento in cui il Rover entra ed esce da un cratere impennandosi vistosamente.
Questi sono i dati che ho raccolto:
g= 1,62 m/s^2
Frame rate del video = 24 fps
Va= 2,6 m/s
Arco di circonferenza AB percorso in salita all'interno del cratere = Va x 11 fotogrammi x 24 fps = 1,12 m
Angolo di pendenza della risalita dal cratere α = 23,6° (la ruota sprofonda per circa 0,4 m e risale in circa 1 m)
Angolo sotteso all'arco di circonferenza in salita del cratere β = 2α = 47,2°
Raggio del cratere approssimato al cerchio = 1,357 m
Con questi dati ottengo \(\displaystyle Vb = \sqrt{Va^2 - 2gr(1-cos(β))} = 2,13 m/s \)
A questo punto per capire cosa succede dopo potrò utilizzare solo la legge oraria, ad esempio sull'asse Z:
\(\displaystyle Z(t) = Vbz*t + \frac{gt^2}{2} \) con \(\displaystyle Vbz = Vb*Cos(β) \)
Il problema nasce dal fatto che con i dati a disposizione la massima altezza dal suolo raggiunta dalla ruota del Rover sarebbe di 0,75 m e soltanto dopo 25 fotogrammi dal punto B (punto in cui finisce il cratere), con ritorno al suolo solo al fotogramma 47, cosa che non corrisponde affatto a quanto si rileva dal filmato: la massima elevazione è di poco più di 0,30 m e si raggiunge intorno al 12° fotogramma. Con il 24° fotogramma le ruote sono di nuovo a suolo.
Eppure ci sono prove consistenti a supporto del valore di Va (il Rover copre la distanza di interasse tra le due ruote di 2,29 m in circa 21 fotogrammi).
Qualcuno sa suggerirmi una possibile via di uscita oltre ai banali errori nei calcoli (cosa che dopo due giorni tenderei ad escludere)?
Come problema mi piace perché cerca di applicare la teoria a una situazione reale.
Ritengo che però non sia facile raggiungere il risultato.
Sicuramente viene a mancare il fatto che il mezzo sia assimilabile ad un punto materiale. Nel caso in questione le dimensioni del mezzo (lunghezza 3 m) sono maggiori di tutto l'arco di salita (r*β=1.118 m avendo espresso β in radianti), e quindi il mezzo non potrà seguire fedelmente il terreno, ma uscirà dal cratere per forza di cose con la parte anteriore nel vuoto e la parte posteriore ancora sul terreno per poi ricadere tutto sul terreno.
Per esaminare bene il problema bisognerebbe considerare un modello del veicolo almeno come un corpo rigido (asta) dotato di ruote e sospensioni.
Inoltre proprio le sospensioni credo che fossero progettate per essere molto efficienti. Cito da Wikipedia:
La bassa gravità procurò una serie di vantaggi e di svantaggi rispetto alla guida sulla Terra. A causa dei sobbalzi piuttosto violenti causati dalla bassa gravità lunare, gli astronauti si dovettero legare a cinture di sicurezza robuste. Però, grazie alla gravità lunare, che è un sesto di quella terrestre, con la “Moon Rover” si riuscivano a superare pendenze del trenta per cento, e a saltare scarpate larghe fino a settanta centimetri: cosa pressoché impossibile sulla Terra. Le ruote erano formate da pneumatici che, anziché essere in gomma con camera d'aria, come le auto “terrestri”, avevano all'interno un anello elastico con una fitta rete di filo d'acciaio con un battistrada in tasselli di titanio.
Nota: La Rover riusciva a superare pendenze del 30% che equivale ad un angolo di salita di circa 17°.
Dai tuoi conti risulterebbe un angolo di 47°, ovvero una pendenza del 75%. Questo è sicuramente un punto da ricontrollare.
Ritengo che però non sia facile raggiungere il risultato.
Sicuramente viene a mancare il fatto che il mezzo sia assimilabile ad un punto materiale. Nel caso in questione le dimensioni del mezzo (lunghezza 3 m) sono maggiori di tutto l'arco di salita (r*β=1.118 m avendo espresso β in radianti), e quindi il mezzo non potrà seguire fedelmente il terreno, ma uscirà dal cratere per forza di cose con la parte anteriore nel vuoto e la parte posteriore ancora sul terreno per poi ricadere tutto sul terreno.
Per esaminare bene il problema bisognerebbe considerare un modello del veicolo almeno come un corpo rigido (asta) dotato di ruote e sospensioni.
Inoltre proprio le sospensioni credo che fossero progettate per essere molto efficienti. Cito da Wikipedia:
La bassa gravità procurò una serie di vantaggi e di svantaggi rispetto alla guida sulla Terra. A causa dei sobbalzi piuttosto violenti causati dalla bassa gravità lunare, gli astronauti si dovettero legare a cinture di sicurezza robuste. Però, grazie alla gravità lunare, che è un sesto di quella terrestre, con la “Moon Rover” si riuscivano a superare pendenze del trenta per cento, e a saltare scarpate larghe fino a settanta centimetri: cosa pressoché impossibile sulla Terra. Le ruote erano formate da pneumatici che, anziché essere in gomma con camera d'aria, come le auto “terrestri”, avevano all'interno un anello elastico con una fitta rete di filo d'acciaio con un battistrada in tasselli di titanio.
Nota: La Rover riusciva a superare pendenze del 30% che equivale ad un angolo di salita di circa 17°.
Dai tuoi conti risulterebbe un angolo di 47°, ovvero una pendenza del 75%. Questo è sicuramente un punto da ricontrollare.
E' vero non è facile trovare il risultato. Per questo mi sto avventurando !
Innanzitutto posto α l'angolo con il quale il Rover sale il cratere e β l'angolo sotteso all'arco di circonferenza
β = 2α
Per determinare α si possono fare un po' di misurazioni partendo dalle immagini. Per prima cosa le immagini vanno rese omografiche al sensore da 16 mm che le ha riprese, corrette nelle eventuali aberrazioni della lente etc etc... ma questi passaggi li ometto per non dilungarmi. Si prendono in esame queste due immagini (non riesco a postare quelle ad alta risoluzione qui nel tread...)
Si tratta del frame nel quale la ruota tocca il fondo del cratere e del successivo frame nel quale la ruota è completamente riemersa ma non si è ancora staccata dal suolo lunare. Tra i due frame trascorrono 17/24 di secondo. Sovrapponendo le due immagini e usando il tool di misurazione prospettica di Adobe PS CS6, si riesce a misurare la distanza tra le due posizioni della ruota, imponendo come taratura del sistema alcune misure note: lunghezza interasse ruote 228,60 cm, diametro delle ruote 81,8 cm. La distanza LINEARE di superficie tra A e B, misurata prendendo come riferimento in ciascuno dei due casi il centro della ruota, risulta 159,32 cm.
Il centro della ruota, nel momento in cui essa tocca il fondo del cratere, resta sopraelevato dalla linea di terra di circa 5 cm, ciò vuol dire che la massima profondità del cratere è di 35 cm.
Conosciuti i due cateti del triangolo rettangolo con vertice α, α risulta:
\(\displaystyle α = arctan( \frac {0,35}{1,59}) = 12,4° \)
Dunque β = 24,8°
Ottengo inoltre un valore della velocità media del LRV notando che esso copre la distanza del suo interasse (2,286 m) in 21/24 di secondo prima dell'entrata nel cratere e in 23/24 una volta entrato. La velocità media è 2,5 m/s (sostenuta anche da una serie di dati scientifici che si trovano negli annali NASA). Con questa velocità trovo un'approssimazione della misura dell'Arco di circonferenza AB che è percorso - come si diceva sopra - in 17/24 di secondo. AB = 1,770 m (valore plausibile visto che la distanza in linea retta di AB è di 1,63 m).
Il raggio del cratere è dunque:
\(\displaystyle r = \frac {arco * 360°} {2πβ} = \frac {1,77*360}{2π*24,8} = 4,09 m \)
Con questi dati posso trovare Vb
\(\displaystyle Vb = \sqrt{Va^2 - (2gr(1-cos(β)))} = \sqrt{2,61^2 - (2*1,62*4,09*(1-cos(24,8)))} = 2,37 m/s \)
...in linea con le rilevazioni a video.
Con questo dato posso costruire la tabella oraria dell'asse Z, secondo l'equazione del moto
\(\displaystyle Z(t) = Vbz*t - \frac{gt^2}{2} \)
...tenuto conto del solo contributo verticale di Vb: \(\displaystyle Vbz = Vb*Cos(β) \)
La tabella potrebbe continuare fino al frame 64, nel quale - a 2,667 secondi dal lancio - la ruota del Rover toccherebbe terra. Sempre secondo la legge oraria la massima elevazione la otterrebbe al frame 32, dopo 1,375 secondi, raggiungendo quota 1,42 m (assurdo !). Mi fermo invece al frame 25 perché è qui - secondo ciò che si vede a video - che le ruote toccano effettivamente terra dopo circa 1,042 secondi. La quota massima raggiunta al frame 14 (0,583 secondi) è di circa 28 cm, come si vede dall'immagine sottostante...
C'è qualcuno che ha delle ipotesi su come mai questa enorme discrepanza tra modello e immagini?
GRAZIE IN ANTICIPO !!!
Innanzitutto posto α l'angolo con il quale il Rover sale il cratere e β l'angolo sotteso all'arco di circonferenza
β = 2α
Per determinare α si possono fare un po' di misurazioni partendo dalle immagini. Per prima cosa le immagini vanno rese omografiche al sensore da 16 mm che le ha riprese, corrette nelle eventuali aberrazioni della lente etc etc... ma questi passaggi li ometto per non dilungarmi. Si prendono in esame queste due immagini (non riesco a postare quelle ad alta risoluzione qui nel tread...)
Si tratta del frame nel quale la ruota tocca il fondo del cratere e del successivo frame nel quale la ruota è completamente riemersa ma non si è ancora staccata dal suolo lunare. Tra i due frame trascorrono 17/24 di secondo. Sovrapponendo le due immagini e usando il tool di misurazione prospettica di Adobe PS CS6, si riesce a misurare la distanza tra le due posizioni della ruota, imponendo come taratura del sistema alcune misure note: lunghezza interasse ruote 228,60 cm, diametro delle ruote 81,8 cm. La distanza LINEARE di superficie tra A e B, misurata prendendo come riferimento in ciascuno dei due casi il centro della ruota, risulta 159,32 cm.
Il centro della ruota, nel momento in cui essa tocca il fondo del cratere, resta sopraelevato dalla linea di terra di circa 5 cm, ciò vuol dire che la massima profondità del cratere è di 35 cm.
Conosciuti i due cateti del triangolo rettangolo con vertice α, α risulta:
\(\displaystyle α = arctan( \frac {0,35}{1,59}) = 12,4° \)
Dunque β = 24,8°
Ottengo inoltre un valore della velocità media del LRV notando che esso copre la distanza del suo interasse (2,286 m) in 21/24 di secondo prima dell'entrata nel cratere e in 23/24 una volta entrato. La velocità media è 2,5 m/s (sostenuta anche da una serie di dati scientifici che si trovano negli annali NASA). Con questa velocità trovo un'approssimazione della misura dell'Arco di circonferenza AB che è percorso - come si diceva sopra - in 17/24 di secondo. AB = 1,770 m (valore plausibile visto che la distanza in linea retta di AB è di 1,63 m).
Il raggio del cratere è dunque:
\(\displaystyle r = \frac {arco * 360°} {2πβ} = \frac {1,77*360}{2π*24,8} = 4,09 m \)
Con questi dati posso trovare Vb
\(\displaystyle Vb = \sqrt{Va^2 - (2gr(1-cos(β)))} = \sqrt{2,61^2 - (2*1,62*4,09*(1-cos(24,8)))} = 2,37 m/s \)
...in linea con le rilevazioni a video.
Con questo dato posso costruire la tabella oraria dell'asse Z, secondo l'equazione del moto
\(\displaystyle Z(t) = Vbz*t - \frac{gt^2}{2} \)
...tenuto conto del solo contributo verticale di Vb: \(\displaystyle Vbz = Vb*Cos(β) \)
| Frame | t (s) | Z (m) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0,09 | 2 | 0,083 |
| 3 | 0,125 | 0,26 |
| 0,167 | 0,34 | 5 |
| 0,41 | 6 | 0,250 |
| 7 | 0,292 | 0,56 |
| 0,333 | 0,63 | 9 |
| 0,69 | 10 | 0,417 |
| 11 | 0,458 | 0,81 |
| 0,500 | 0,87 | 13 |
| 0,93 | 14 | 0,583 |
| 15 | 0,625 | 1,03 |
| 0,667 | 1,07 | 17 |
| 1,12 | 18 | 0,750 |
| 19 | 0,792 | 1,19 |
| 0,833 | 1,23 | 21 |
| 1,26 | 22 | 0,917 |
| 23 | 0,958 | 1,32 |
| 1,000 | 1,34 | 25 |
La tabella potrebbe continuare fino al frame 64, nel quale - a 2,667 secondi dal lancio - la ruota del Rover toccherebbe terra. Sempre secondo la legge oraria la massima elevazione la otterrebbe al frame 32, dopo 1,375 secondi, raggiungendo quota 1,42 m (assurdo !). Mi fermo invece al frame 25 perché è qui - secondo ciò che si vede a video - che le ruote toccano effettivamente terra dopo circa 1,042 secondi. La quota massima raggiunta al frame 14 (0,583 secondi) è di circa 28 cm, come si vede dall'immagine sottostante...
C'è qualcuno che ha delle ipotesi su come mai questa enorme discrepanza tra modello e immagini?
GRAZIE IN ANTICIPO !!!
Francamente sono convinto che sia il modello ad non essere adatto allo scopo e quindi sia ben difficile ottenere una buona rispondenza con la realtà.
Comunque provo a darti qualche spunto per migliorare l'analisi.
Osservazione 1
Probabilmente meno perché urtando il pneumatico sicuramente si abbassa di alcuni cm.
Osservazione 2
Qualunque sia la velocità della Rover, urtando la buca perde tutta o in parte la componente di velocità perpendicolare alla tangente alla circonferenza nel punto di contatto.
Comunque provo a darti qualche spunto per migliorare l'analisi.
Osservazione 1
"Alex33":
Il centro della ruota, nel momento in cui essa tocca il fondo del cratere, resta sopraelevato dalla linea di terra di circa 5 cm, ciò vuol dire che la massima profondità del cratere è di 35 cm.
Probabilmente meno perché urtando il pneumatico sicuramente si abbassa di alcuni cm.
Osservazione 2
Qualunque sia la velocità della Rover, urtando la buca perde tutta o in parte la componente di velocità perpendicolare alla tangente alla circonferenza nel punto di contatto.
Grazie per i suggerimenti Ingres !
Effettivamente le ruote del LRV costruite dalla Boeing (non si trattava di pneumatici ma erano realizzate con una carcassa in rete metallica e un telaio interno rigido) avevano un deformazione massima abbastanza importante al fine di migliorare le prestazioni di trazione. In "The Development of Wheels for the Lunar Roving Vehicle" NASA 1970 (https://ntrs.nasa.gov/api/citations/20100000019/downloads/20100000019.pdf) - pagina 17 - è documentato come la flessione massima potesse raggiungere 4,45 cm.
Nel caso di specie il LRV non era a pieno carico (poiché a bordo si trovava 1 solo astronauta). Né sembra, dalla sequenza, che ci siano urti così violenti da stressare le ruote fino al limite (stiamo parlando di velocità prossime a 9 km/h e ricordiamoci che siamo sulla luna a 1/6g). Considerando comunque 3 centimetri di deformazione, abbiamo una buca (o cratere che sia) più basso: questo non fa che peggiorare le cose perché Vb aumenta lievemente.
Quanto all'osservazione 2... Non parlerei proprio di "urto" perché il mezzo - piuttosto - "attraversa" l'avvallamento, entrando e uscendo in circa 24 fotogrammi (1 secondo). L'ipotetica perdita di velocità data dalla componente perpendicolare alla tangente dell'arco di circonferenza del cratere - volendo anche ammettere un urto - non può essere sostanziale, altrimenti il veicolo dopo la parabola del salto dovrebbe trovarsi molto rallentato e riprendere gradualmente la sua velocità grazie alla forza motrice. Ma questo non succede.
Il limite del modello è che non vengono considerate (per semplicità) le altre due forze in gioco: l'attrito e la forza motrice. Sono convinto però che se le considerassimo le cose non migliorerebbero. In fondo quello che si nota (misurando e contando i frames) è che nonostante questa grande buca la velocità media del LRV prima, dopo, durante l'evento non cambia sensibilmente. Oscilla tra i 2,6 m/s ai 2,4 m/s.
Quello che invece servirebbe per avere un modello corrispondente alle immagini è una velocità di almeno LA META' di quella che si registra. A quel punto potremmo avere un salto delle ruote anteriori di max 30 cm e un ritorno a terra in circa 30 fotogrammi.
Questa differenza abissale non me la spiego e mi sta facendo diventare questo problema un'ossessione.
Probabilmente meno perché urtando il pneumatico sicuramente si abbassa di alcuni cm.
Effettivamente le ruote del LRV costruite dalla Boeing (non si trattava di pneumatici ma erano realizzate con una carcassa in rete metallica e un telaio interno rigido) avevano un deformazione massima abbastanza importante al fine di migliorare le prestazioni di trazione. In "The Development of Wheels for the Lunar Roving Vehicle" NASA 1970 (https://ntrs.nasa.gov/api/citations/20100000019/downloads/20100000019.pdf) - pagina 17 - è documentato come la flessione massima potesse raggiungere 4,45 cm.
Nel caso di specie il LRV non era a pieno carico (poiché a bordo si trovava 1 solo astronauta). Né sembra, dalla sequenza, che ci siano urti così violenti da stressare le ruote fino al limite (stiamo parlando di velocità prossime a 9 km/h e ricordiamoci che siamo sulla luna a 1/6g). Considerando comunque 3 centimetri di deformazione, abbiamo una buca (o cratere che sia) più basso: questo non fa che peggiorare le cose perché Vb aumenta lievemente.
Quanto all'osservazione 2... Non parlerei proprio di "urto" perché il mezzo - piuttosto - "attraversa" l'avvallamento, entrando e uscendo in circa 24 fotogrammi (1 secondo). L'ipotetica perdita di velocità data dalla componente perpendicolare alla tangente dell'arco di circonferenza del cratere - volendo anche ammettere un urto - non può essere sostanziale, altrimenti il veicolo dopo la parabola del salto dovrebbe trovarsi molto rallentato e riprendere gradualmente la sua velocità grazie alla forza motrice. Ma questo non succede.
Il limite del modello è che non vengono considerate (per semplicità) le altre due forze in gioco: l'attrito e la forza motrice. Sono convinto però che se le considerassimo le cose non migliorerebbero. In fondo quello che si nota (misurando e contando i frames) è che nonostante questa grande buca la velocità media del LRV prima, dopo, durante l'evento non cambia sensibilmente. Oscilla tra i 2,6 m/s ai 2,4 m/s.
Quello che invece servirebbe per avere un modello corrispondente alle immagini è una velocità di almeno LA META' di quella che si registra. A quel punto potremmo avere un salto delle ruote anteriori di max 30 cm e un ritorno a terra in circa 30 fotogrammi.
Questa differenza abissale non me la spiego e mi sta facendo diventare questo problema un'ossessione.
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