Forza Centrifuga e Doppio Prodotto

[Amartya]

Salve a tutti,
so che all'interno dell'accelerazione di trascinamento il doppio prodotto vettoriale è la forza centrifuga.
Sicchè abbiamo \(\displaystyle \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r) \) che usando la nota formula del doppio prodotto vettoriale equivale a \(\displaystyle (\vec \omega \cdot \vec r) \vec \omega - \omega^2 \vec r \), tuttavia non riesco a capire il motivo per il quale la componente \(\displaystyle (\vec \omega \cdot \vec r) \vec \omega \) è uguale a $0$.
Qualcuno di voi saprebbe spiegarmi perchè ciò avviene, magari utilizzando una dimostrazione matematica che non sono riuscito a trovare?
Grazie a tutti in anticipo
Emanuele
[xdom="mathbells"]@Emanuele: mi sono permesso di aggiustare la notazione in quanto non erano ben indicati i vettori e non erano ben distinti i prodotti scalari dai prodotti normali, cosa che in un post del genere non è certo un dettaglio, soprattutto per eventuali lettori alle prime armi. Ho inoltre indicato il prodotto vettore con la più comune notazione \(\displaystyle \times \) al posto di $^^$[/xdom]

[mathbells]

"emanuele78":..tuttavia non riesco a capire il motivo per il quale la componente \( \displaystyle (\vec \omega \cdot \vec r) \vec \omega \) è uguale a $ 0 $

In generale quella quantità NON è zero. Dipende da dove poni l'origine dei vettori. Ricordiamo che in quella formula \(\displaystyle \vec \omega \) è la velocità angolare e quindi è diretta, per definizione, lungo l'asse di rotazione e quindi è perpendicolare al piano dell'orbita percorsa dal punto materiale. In generale, l'origine degli assi cartesiani si prende sull'asse di rotazione e quindi \(\displaystyle \vec r \) in generale non è perpendicolare ad \(\displaystyle \vec \omega \). Se però prendi l'origine proprio nel piano dell'orbita, allora \(\displaystyle \vec r \) e \(\displaystyle \vec \omega \) sono perpendicolari, da cui \( \displaystyle (\vec \omega \cdot \vec r)=0\). Spero di essere stato chiaro

[Amartya]

"mathbells":[quote="emanuele78"]..tuttavia non riesco a capire il motivo per il quale la componente \( \displaystyle (\vec \omega \cdot \vec r) \vec \omega \) è uguale a $ 0 $

In generale quella quantità NON è zero. Dipende da dove poni l'origine dei vettori. Ricordiamo che in quella formula \(\displaystyle \vec \omega \) è la velocità angolare e quindi è diretta, per definizione, lungo l'asse di rotazione e quindi è perpendicolare al piano dell'orbita percorsa dal punto materiale. In generale, l'origine degli assi cartesiani si prende sull'asse di rotazione e quindi \(\displaystyle \vec r \) in generale non è perpendicolare ad \(\displaystyle \vec \omega \). Se però prendi l'origine proprio nel piano dell'orbita, allora \(\displaystyle \vec r \) e \(\displaystyle \vec \omega \) sono perpendicolari, da cui \( \displaystyle (\vec \omega \cdot \vec r)=0\). Spero di essere stato chiaro [/quote]
Si sei stato chiarissimo/a.
pertanto dato il vettore $\omega$ ed il vettore $r$ si ha $\omega*r = ||\omega||||r||cos(\phi)$, dove $(\phi)$ è l'angolo tra i due vettori, per cui essendo ortogonali (in quanto siamo sullo stesso piano di rotazione) l'angolo è $90°$ e quindi il coseno è $0$.
Ok, adesso è veramente chiaro.
Grazie mille.
Emanuele