Forza armature - circuito RC
Sia dato un circuito elettrico con in serie una resistenza $R$, condensatore $C$ e generatore di tensione costante $f$. All'istante iniziale le armature del condensatore $C$ sono scariche ($Q(t=0)=0$).
Calcolare come varia nel tempo la forza $f_x$ di attrazione delle armature
Si assuma il condensatore di capacità $C=\epsilon_0S/x$
Calcolare come varia nel tempo la forza $f_x$ di attrazione delle armature
Si assuma il condensatore di capacità $C=\epsilon_0S/x$
Risposte
Prima soluzione:
Calcolo come varia nel tempo la carica sull'armatura positiva del condensatore.
L'equazione del circuito è
$f=Q/C+R(dQ)/dt$
Da cui si trova facilmente
$Q(t)=fC(1-e^(-t/(RC)))$
E' inoltre noto (vedi testi di fisica generale) che dato un condensatore di capacità come il nostro ($C=\epsilon_0S/x$) e isolato, cioè con carica $Q$ fissa, le armature si attraggono con una forza di modulo pari a
$f_x=1/2Q^2/(\epsilon_0S)$
Infine, essendo la forza tra le armature dovuta solo alla presenza della carica sulle armature [correggetemi se qui sbaglio], la stessa formula varrà anche nel nostro caso istante per istante, quindi sostituendo
$f_x(t)=1/2(Q(t))^2/(\epsilon_0S)=1/2(fC(1-e^(-t/(RC))))^2/(\epsilon_0S)$
La soluzione è corretta secondo voi?
Calcolo come varia nel tempo la carica sull'armatura positiva del condensatore.
L'equazione del circuito è
$f=Q/C+R(dQ)/dt$
Da cui si trova facilmente
$Q(t)=fC(1-e^(-t/(RC)))$
E' inoltre noto (vedi testi di fisica generale) che dato un condensatore di capacità come il nostro ($C=\epsilon_0S/x$) e isolato, cioè con carica $Q$ fissa, le armature si attraggono con una forza di modulo pari a
$f_x=1/2Q^2/(\epsilon_0S)$
Infine, essendo la forza tra le armature dovuta solo alla presenza della carica sulle armature [correggetemi se qui sbaglio], la stessa formula varrà anche nel nostro caso istante per istante, quindi sostituendo
$f_x(t)=1/2(Q(t))^2/(\epsilon_0S)=1/2(fC(1-e^(-t/(RC))))^2/(\epsilon_0S)$
La soluzione è corretta secondo voi?
"ralf86":
$Q(t)=f/C(1-e^(-t/(RC)))$
Penso che sia
$Q(t)=Cf(1-e^(-t/(RC)))$
sì, sì, hai ragione. Provvedo a correggere :s
Per il resto?
Per il resto?
Per il resto è corretto.
Altro modo di risolvere l'esercizio è quello di partire dal principio dei lavori virtuali.
Occorre in pratica imporre un allontanamento virtuale alle armature e scrivere il bilancio energetico virtuale
Sapreste farmi vedere come applichereste il principio in questo caso?
Io m' incarto
Occorre in pratica imporre un allontanamento virtuale alle armature e scrivere il bilancio energetico virtuale
Sapreste farmi vedere come applichereste il principio in questo caso?
Io m' incarto
Calcola l'energia nel condensatore \(\displaystyle E \).
Sposta le armature \(\displaystyle \delta x \)
Calcola l'energia nel condensatore \(\displaystyle E + \delta E \).
\(\displaystyle F=\frac{\delta E}{\delta x} \)
Sposta le armature \(\displaystyle \delta x \)
Calcola l'energia nel condensatore \(\displaystyle E + \delta E \).
\(\displaystyle F=\frac{\delta E}{\delta x} \)
il generatore e la resistenza non contribuiscono?
Potresti farmi vedere i calcoli?
Potresti farmi vedere i calcoli?
L'energia potenziale accumulata dal condensatore è: \(\displaystyle \frac{V^2C}{2} \)
con \(\displaystyle V \) la tensione
\(\displaystyle = \frac{\epsilon_0 SV^2}{2x} \)
\(\displaystyle \delta E = -\frac{\epsilon_0 SV^2}{2x^2}\delta x \)
\(\displaystyle f_x = \frac{\epsilon_0 SV^2}{2x^2}= \frac{C^2V^2}{2\epsilon_0 S} \)
con \(\displaystyle V \) la tensione
\(\displaystyle = \frac{\epsilon_0 SV^2}{2x} \)
\(\displaystyle \delta E = -\frac{\epsilon_0 SV^2}{2x^2}\delta x \)
\(\displaystyle f_x = \frac{\epsilon_0 SV^2}{2x^2}= \frac{C^2V^2}{2\epsilon_0 S} \)
"ralf86":
il generatore e la resistenza non contribuiscono?
Potresti farmi vedere i calcoli?
Non vedo come puoi usare il principio dei lavori virtuali per il generatore e la resistenza.
Fisicamente la vedo così:
Consideriamo un certo istante t
conosciamo $Q(t)$
Imponiamo un allontanamento virtuale delle armature
Questo determina una variazione (diminuzione) della capacità. E questo è facile da calcolare.
Contemporaneamente però dovrà cambiare anche la carica sul condensatore che dovrà fluire nel circuito, quindi passerà sia nella resistenza che nel generatore subendo lavoro (di segno opportuno) da entrambi.
A questo punto basta scrivere tutti i contributi energetici nel circuito e calcolare così la forza
Qualcuno saprebbe aiutarmi a mettere questo in formule?
Consideriamo un certo istante t
conosciamo $Q(t)$
Imponiamo un allontanamento virtuale delle armature
Questo determina una variazione (diminuzione) della capacità. E questo è facile da calcolare.
Contemporaneamente però dovrà cambiare anche la carica sul condensatore che dovrà fluire nel circuito, quindi passerà sia nella resistenza che nel generatore subendo lavoro (di segno opportuno) da entrambi.
A questo punto basta scrivere tutti i contributi energetici nel circuito e calcolare così la forza
Qualcuno saprebbe aiutarmi a mettere questo in formule?
Ci sono, dovrebbe essere così:
Indico con $F_x$ la forza che devo applicare dall'esterno alle armature per allontanarle di $deltax$ (immagino qui un'armatura fissa al telaio ad esempio quella con carica negativa, e la $F_x$ applicata all'armatura con carica positiva)
L'unica altra forza che è applicata è $f_x$, quella esercitata dal campo elettrico ed incognita del problema
Dovrà essere $f_x=-F_x$
E' chiaro che sia $F_x$ che $f_x$ sono incognite algebriche, se risulteranno negative avranno verso discorde a quello ipotizzato di allontanamento
- Bilancio di energia in seguito all'allontanamento virtuale
$fdeltaQ+F_xdeltax-RIdeltaQ=deltaU$
esplicitiamo ora $deltaQ$ e $deltaU$
Per fare questo utilizzeremo spesso la relazione $Q/C=f-RI$
- termine $deltaQ$
$deltaQ=delta(C(f-RI))=(delC)/(delx)deltax(f-RI)=(del(epsilon_0S/x))/(delx)deltax(f-RI)=-epsilon_0S/x^2deltax(f-RI)=-C/xdeltax(f-RI)=-Q/xdeltax$
-termine $deltaU$
$deltaU=delta(1/2C(f-RI)^2)=1/2(delC)/(delx)deltax(f-RI)^2=-1/2C/xdeltax(f-RI)^2=-1/2C/xdeltaxQ^2/C^2=-1/2Q^2/(Cx)deltax$
-sostituiamo nel bilancio
$-fQ/xdeltax+F_xdeltax+RIQ/xdeltax=-1/2Q^2/(Cx)deltax$
$(F_x-(f-RI)Q/x+1/2Q^2/(Cx))deltax=0$
$(F_x-Q/CQ/x+1/2Q^2/(Cx))deltax=0$
$(F_x-1/2Q^2/(Cx))deltax=0$ $AAdeltax$
$F_x=1/2Q^2/(Cx)$
$f_x=-F_x=-1/2Q^2/(Cx)=-1/2Q^2/(epsilon_0S)$
$f_x(t)=-1/2(Q(t))^2/(epsilon_0S)$
$f_x$ risulta negativa quindi tende ad avvicinare le armature
Indico con $F_x$ la forza che devo applicare dall'esterno alle armature per allontanarle di $deltax$ (immagino qui un'armatura fissa al telaio ad esempio quella con carica negativa, e la $F_x$ applicata all'armatura con carica positiva)
L'unica altra forza che è applicata è $f_x$, quella esercitata dal campo elettrico ed incognita del problema
Dovrà essere $f_x=-F_x$
E' chiaro che sia $F_x$ che $f_x$ sono incognite algebriche, se risulteranno negative avranno verso discorde a quello ipotizzato di allontanamento
- Bilancio di energia in seguito all'allontanamento virtuale
$fdeltaQ+F_xdeltax-RIdeltaQ=deltaU$
esplicitiamo ora $deltaQ$ e $deltaU$
Per fare questo utilizzeremo spesso la relazione $Q/C=f-RI$
- termine $deltaQ$
$deltaQ=delta(C(f-RI))=(delC)/(delx)deltax(f-RI)=(del(epsilon_0S/x))/(delx)deltax(f-RI)=-epsilon_0S/x^2deltax(f-RI)=-C/xdeltax(f-RI)=-Q/xdeltax$
-termine $deltaU$
$deltaU=delta(1/2C(f-RI)^2)=1/2(delC)/(delx)deltax(f-RI)^2=-1/2C/xdeltax(f-RI)^2=-1/2C/xdeltaxQ^2/C^2=-1/2Q^2/(Cx)deltax$
-sostituiamo nel bilancio
$-fQ/xdeltax+F_xdeltax+RIQ/xdeltax=-1/2Q^2/(Cx)deltax$
$(F_x-(f-RI)Q/x+1/2Q^2/(Cx))deltax=0$
$(F_x-Q/CQ/x+1/2Q^2/(Cx))deltax=0$
$(F_x-1/2Q^2/(Cx))deltax=0$ $AAdeltax$
$F_x=1/2Q^2/(Cx)$
$f_x=-F_x=-1/2Q^2/(Cx)=-1/2Q^2/(epsilon_0S)$
$f_x(t)=-1/2(Q(t))^2/(epsilon_0S)$
$f_x$ risulta negativa quindi tende ad avvicinare le armature
Se non si fa attenzione ai segni in questo genere di problemi si sbaglia (sbaglio) che è una bellezza! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo