Forza agente su una sfera carica

[Mondo3]

Una sfera metallica scarica di raggio R è imppersa in un campo elettrico esterno uniforme e, come risultato, sulla superficie appare una carica indotta di densità $\sigma=\sigma_0 cos \theta$ ove $\sigma_0$ è una costante positiva e $\theta$ è l'angolo polare formato con l'asse verticale.
Si determini la forza risultante agente sulla sfera.

[minavagante1]

ma $theta$ è l'angolo formato dalla verticale, e (supponiamo) un ipotetico filo collegato alla sferetta???

[Mondo3]

$\theta$ è la latitudine quando passi in coordinate polari

[minavagante1]

ah ok, non sono sicuro sia giusto, comuqnue io farei (sapendo $F=Eq$) un integrale del tipo:
$F=Esigma_0int_(pi/2)^0costheta d theta$ sfruttando il fatto che il campo è uniforme

[MaMo2]

Se $theta$ è la latitudine l'integrale dovrebbe essere:

$F=4piR^2rho_0Eint_0^(pi/2)cos^2theta d theta=pi^2R^2rho_0E$

Però dal testo $theta$ sembra la colatitudine.

[minavagante1]

perchè $4piR^2 costheta^2$??

[Mondo3]

ha applicato il cambio di coordinate sferiche considerando (come effetivamente è, scusatemi per l'errore) $\theta$ come la colatitudine. Tuttavia il campo esterno che denomini con $E$ non è noto, quindi forse è opportuno utilizzare la formula seguente.
$F=\int_{S} \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}\hat{n} dS$ dove $\hat{n}$ è il versore normale.

In ogni caso non capisco perchè integri tra $0$ e $\pi/2$, piuttosto che tra $0$ e $\pi$...

[minavagante1]

aspettiamo qualcuno

[Mondo3]

Il risultato che da il libro è strettamente positivo e assomiglia a quello dato da MaMo, ma svolgendo l'integrale a me viene zero e si arriva a questa stessa soluzione anche con un ragionamento di carattere qualitativo: la forza va con il quadrato della $\sigma$ e quindi ha sempre lo stesso verso del versore normale. Visto che siamo su una superficie sferica la forza che agisce su un pezzettino di superficie è controbilanciata dalla forza che agisce sul simmetrico rispetto al centro di uguale modulo, ma verso opposto. Quindi per simmetria la forza totale è zero.

Dove sbaglio?

[minavagante1]

scusate non avevo visto che MaMo aveva risposto, nel senso che pensavo fosse sempre Mondo che aveva scritto l'integrale, scusa MaMo