Formule di Poisson e domanda di "geometria"
salve a tutti... il mio libro parlando delle formule di Poisson dice che:
se scriviamo le componenti del vettore $(du_x)/dt$ come proiezioni del vettore stesso sugli assi otteniamo:
$(du_x)/dt = ((du_x)/dt*u_x) u_x + ((du_x)/dt*u_y) u_y + ((du_x)/dt*u_z) u_z$
francamente a me già sta cosa mi lascia un pò perplesso... non bastava fare $(du_x)/dt*u_x$ perchè moltiplicarlo di nuovo per $u_x$ ?
continuando dice che il primo membro è nullo poichè $(du_x)/dt$ e $u_x$ sono ortogonali.
Estende il ragionamento anche all'asse y e z.
Alla fine dice che le componenti non sono indipendenti, ma uguali in modulo e a due a due; infatti derivando $u_x*u_y=0$ si ricava:
$(du_x)/dt*u_y+u_x*(du_y)/dt=0$ da cui poi $(du_x)/dt*u_y=- u_x*(du_y)/dt$.
A questo punto definisce il vettore $omega$ che ha come componenti i tre termini indipendenti:
$omega_x = (du_y)/dt*u_z$, $omega_y = (du_z)/dt*u_x$, $omega_z = (du_x)/dt*u_y$
gentilmente mi spiegate da dove sono usciti!?
altra domandina:
c'è un oggetto che cade da una altezza $h$ e subisce una acc. laterale lungo $x$. alla fine il problema chiede l'angolo di incidenza al suolo.
la soluzione per il libro è: $tantheta = h / x$
solo che non riesco a "capirla" ....
se scriviamo le componenti del vettore $(du_x)/dt$ come proiezioni del vettore stesso sugli assi otteniamo:
$(du_x)/dt = ((du_x)/dt*u_x) u_x + ((du_x)/dt*u_y) u_y + ((du_x)/dt*u_z) u_z$
francamente a me già sta cosa mi lascia un pò perplesso... non bastava fare $(du_x)/dt*u_x$ perchè moltiplicarlo di nuovo per $u_x$ ?
continuando dice che il primo membro è nullo poichè $(du_x)/dt$ e $u_x$ sono ortogonali.
Estende il ragionamento anche all'asse y e z.
Alla fine dice che le componenti non sono indipendenti, ma uguali in modulo e a due a due; infatti derivando $u_x*u_y=0$ si ricava:
$(du_x)/dt*u_y+u_x*(du_y)/dt=0$ da cui poi $(du_x)/dt*u_y=- u_x*(du_y)/dt$.
A questo punto definisce il vettore $omega$ che ha come componenti i tre termini indipendenti:
$omega_x = (du_y)/dt*u_z$, $omega_y = (du_z)/dt*u_x$, $omega_z = (du_x)/dt*u_y$
gentilmente mi spiegate da dove sono usciti!?
altra domandina:
c'è un oggetto che cade da una altezza $h$ e subisce una acc. laterale lungo $x$. alla fine il problema chiede l'angolo di incidenza al suolo.
la soluzione per il libro è: $tantheta = h / x$
solo che non riesco a "capirla" ....
Risposte
per la seconda:
$y(t)=h-1/2g t^2 $ e $ x(t)=1/2at^2$ quindi unendole ottieni $y=-g/ax+h$ e vedi che la traiettoria è una retta...usando la trigonometria ricavi facilmente la formula dell'angolo.
nella prima invece, sei sicuro che non fossero versori quelli??
$y(t)=h-1/2g t^2 $ e $ x(t)=1/2at^2$ quindi unendole ottieni $y=-g/ax+h$ e vedi che la traiettoria è una retta...usando la trigonometria ricavi facilmente la formula dell'angolo.
nella prima invece, sei sicuro che non fossero versori quelli??
$u_x$ è un versore... ma la sua derivata no...
ciao,
scusate se mi intrometto. Ciao Cantaro, senti una cosa: ma era anche possibile dire che siccome ho una forza verticale verso il basso, e una orizzontale, supponiamo verso destra, il corpo seguiva questa direzione appunto obliqua, e partendo da un'altezza h, e terminanado con un'ascissa x, possiamo scrivere $tantheta=h/x$???
scusate se mi intrometto. Ciao Cantaro, senti una cosa: ma era anche possibile dire che siccome ho una forza verticale verso il basso, e una orizzontale, supponiamo verso destra, il corpo seguiva questa direzione appunto obliqua, e partendo da un'altezza h, e terminanado con un'ascissa x, possiamo scrivere $tantheta=h/x$???
"minavagante":
ciao,
scusate se mi intrometto. Ciao Cantaro, senti una cosa: ma era anche possibile dire che siccome ho una forza verticale verso il basso, e una orizzontale, supponiamo verso destra, il corpo seguiva questa direzione appunto obliqua, e partendo da un'altezza h, e terminanado con un'ascissa x, possiamo scrivere $tantheta=h/x$???
certo
l'importante è che la traiettoria sia rettilinea
ma che la traiettoria è rettilinea dovevo verificarlo oppure in questo caso posso subito dire che è così perchè fin dall'inizio una forza agisce anche orizzontalmente???
si, puoi dirlo subito...(immagino sia sottointeso che parte da fermo)
grazie 
se poi qualcuno può rispondere anche alla prima domanda.... -.-"
nessuno sa aiutarmi?
"Tonin":
francamente a me già sta cosa mi lascia un pò perplesso... non bastava fare $(du_x)/dt*u_x$ perchè moltiplicarlo di nuovo per $u_x$ ?
Non è possibile poichè $(d\hat{u_x})/dt*\hat{u_x}$ è uno scalare mentre a sinistra hai un vettore.
Quello che vuoi fare è scrivere $(d\hat{u_x})/dt$ in termini dei tre versori della tua base, ovvero formalmente $(d\hat{u_x})/dt = a \hat{u_x} + b \hat{u_y} + c \hat{u_z}$.
Per trovare i coefficienti basta moltiplicare ambo i membri per i tre versori, sfruttando l'ortonormalità dei versori. Ad esempio moltiplicando per $\hat{u_x}$ hai $a = (d\hat{u_x})/dt * \hat{u_x}$.
Procedendo ugualmente per gli altri ottieni $(d\hat{u_x})/dt = ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_x}) \hat{u_x} + ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_y}) \hat{u_y} + ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_z}) \hat{u_z}$.
ok grazie. e il vettore omega da dove lo fa uscire? in base a cosa dice che ha quella forma?
"Tonin":
ok grazie. e il vettore omega da dove lo fa uscire? in base a cosa dice che ha quella forma?
Direi che lo definisce in modo da poter scrivere $(d\hat{u_x})/dt = \vec{\omega} \xx \hat{u_x}$.
si vuole arrivare a quella formula ma vorrei capire in base a cosa io posso dire che le componenti di omega sono quelle... non so se è chiara la domanda...
Prima espliciti $\vec{\omega} \xx \hat{u_x} = (\omega_x \hat{u_x} + \omega_y \hat{u_y} + \omega_z \hat{u_z}) \xx \hat{u_x} = \omega_y \hat{u_y} \xx \hat{u_x} + \omega_z \hat{u_z} \xx \hat{u_x} = -\omega_y \hat{u_z} + \omega_z \hat{u_y}$.
Poi uguagli questa espressione con quella precedentemente trovata, ovvero $(d\hat{u_x})/dt = ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_x}) \hat{u_x} + ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_y}) \hat{u_y} + ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_z}) \hat{u_z}$.
A questo punto uguagli le componenti e sfrutti la relazione $(d\hat{u_x})/dt * \hat{u_z} = -(d\hat{u_z})/dt * \hat{u_x}$, in questo modo ottieni $\omega_y = (d\hat{u_z})/dt * \hat{u_x}$ e $\omega_z = (d\hat{u_x})/dt * \hat{u_y}$.
In questo procedimento è ininfluente il modo in cui definisci $\omega_x$, poichè questa componente si annulla nel prodotto vettoriale, ma ad occhio direi che ripetendo lo stesso procedimento per un altro versore venga una componente di quel tipo.
Poi uguagli questa espressione con quella precedentemente trovata, ovvero $(d\hat{u_x})/dt = ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_x}) \hat{u_x} + ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_y}) \hat{u_y} + ((d\hat{u_x})/dt * \hat{u_z}) \hat{u_z}$.
A questo punto uguagli le componenti e sfrutti la relazione $(d\hat{u_x})/dt * \hat{u_z} = -(d\hat{u_z})/dt * \hat{u_x}$, in questo modo ottieni $\omega_y = (d\hat{u_z})/dt * \hat{u_x}$ e $\omega_z = (d\hat{u_x})/dt * \hat{u_y}$.
In questo procedimento è ininfluente il modo in cui definisci $\omega_x$, poichè questa componente si annulla nel prodotto vettoriale, ma ad occhio direi che ripetendo lo stesso procedimento per un altro versore venga una componente di quel tipo.
ok grazie
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