Formula della potenza

[Lodosage]

Perché nella formula della potenza è lecito questo passaggio$P=(dw)/dt= vec(F) * (dvec(r))/dt $? La forza non dovrebbe essere anch'essa funzione di t?

[kobeilprofeta]

Qua si suppone F costante mi pare di capire

[Lodosage]

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

ma il mio libro non suppone che la F sia costante, tra l'altro mi chiedo anche come sia possibile il concetto di P costante, se la formula è P=Fv=Mav, come può essere costante se a e v non possono essere inversamente proporzionali?

[donald_zeka]

Ecco la questione fatta per bene:

Si definisce Potenza $W$ di una forza $vecF$ agente su un punto materiale P di massa $m$ a velocità $vecv$ lo scalare:

$W=vecF*vecv$

Risulta:

$W=mveca*vecv=m(dvecv)/(dt)*vecv=d(1/2mv^2)/(dt)=(dT)/(dt)$ -> teorema dell'energia cinetica

Essendo $T:=1/2mv^2$ l'energia cinetica del punto materiale.

Integrando rispetto al tempo:

$int_(0)^(t)W(tau)d tau=int_(0)^(t)(dT)/(dt)d tau$ , quindi:

$L(t)=T(t)-T(0)$

Essendo per definizione: $L(t):=int_(0)^(t)W(tau)d tau$ il lavoro della forza $F$ fatto dall'istante iniziale $0$ all'istante finale $t$.

Dall'ultima uguaglianza quindi risulta, derivando rispetto al tempo:

$(dL)/(dt)=(dT)/(dt)=W$

Che è la relazione cercata.

[mathbells]

"Leoddio":Perché nella formula della potenza è lecito questo passaggio$P=(dw)/dt= vec(F) * (dvec(r))/dt $? La forza non dovrebbe essere anch'essa funzione di t?

Come giustamente osserva il tuo libro, quella è la potenza istantanea per cui la forza in generale va vista come funzione del tempo. Quella relazione la devi intendere così:
\(\displaystyle P(t)=\vec F(t)\cdot \frac{d \vec r(t)}{dt} \)

[Lodosage]

Scusa Vulplasir ma non ho capito bene il passaggio centrale

"Vulplasir":

$W=mveca*vecv=m(dvecv)/(dt)*vecv=d(1/2mv^2)/(dt)=(dT)/(dt)$ -> teorema dell'energia cinetica

L'energia cinetica non dovrebbe essere l'integrale di $mv*dv$? e comunque poi risulterebbe una differenza $T_b-T_a$?

[donald_zeka]

No l'energia cinetica è $T:=1/2mv^2$