Forme vettoriali e forme scalari
Ho problemi nello stabilire i segni quando proietto equazioni vettoriali su un a terna cartesiana. Consideriamo un corpo di massa $ m $ in caduta libera sotto l'azione della forza peso e della viscosità dell'aria. Supponiamo di essere in condizioni tali che la forza di resistenza del mezzo sia ben approssimata dalla legge di Stokes. In termini vettoriali il secondo principio della dinamica per questo problema si scrive:
$ \vecP+\vecF_R=m\veca $
Nel formalismo vettoriale si usa sempre il segno $ + $ giusto ? Se poi ad $ \vecF_R $ sostituiamo la sua espressione $ \vecF_R=-\beta\vecv $ allora con lo stesso formalismo scriveremo:
$ \vecP-\beta\vecv=m\veca $
Perchè a questo punto si introduce quel $ - $ se ancora non è stato stabilito un riferimento?
Supponiamo che il moto avvenga solo lungo un asse verticale $ z $ che orientiamo verso l'alto. La componente di $ \vecP $ lungo tale asse vale $ |\vecP|cos\pi=-mg $; Quella di $ \vecF_R $ lungo $ z $ dovrebbe valere $ |\vecF_R|cos0=\betavcos0=\betav_z $ (Ragionamento che ho seguito: Dato che la componente di $ \vecv $ in tale riferimento è negativa e stando alla legge della forza $ \vecF_R $ che presenta il segno meno dovrei trovare una componente positiva di tale forza). Quindi l'equazione del moto lungo tale asse dovrebbe essere:
$ -mg+\betav_z=ma_z $
Il mio testo riporta invece:
$ -mg-\betav_z=ma_z $
Dove sbaglio? Per quanto riguarda invece il segno del secondo membro come si ragiona? Essendo l'incognita non gli si attribuisce alcun segno? Dove posso trovare informazioni che mi chiariscano questi dubbi che ho sul modo di trattare le scomposizioni dei vettori nei sistemi di riferimento nell'applicazione del secondo principio della dinamica?
$ \vecP+\vecF_R=m\veca $
Nel formalismo vettoriale si usa sempre il segno $ + $ giusto ? Se poi ad $ \vecF_R $ sostituiamo la sua espressione $ \vecF_R=-\beta\vecv $ allora con lo stesso formalismo scriveremo:
$ \vecP-\beta\vecv=m\veca $
Perchè a questo punto si introduce quel $ - $ se ancora non è stato stabilito un riferimento?
Supponiamo che il moto avvenga solo lungo un asse verticale $ z $ che orientiamo verso l'alto. La componente di $ \vecP $ lungo tale asse vale $ |\vecP|cos\pi=-mg $; Quella di $ \vecF_R $ lungo $ z $ dovrebbe valere $ |\vecF_R|cos0=\betavcos0=\betav_z $ (Ragionamento che ho seguito: Dato che la componente di $ \vecv $ in tale riferimento è negativa e stando alla legge della forza $ \vecF_R $ che presenta il segno meno dovrei trovare una componente positiva di tale forza). Quindi l'equazione del moto lungo tale asse dovrebbe essere:
$ -mg+\betav_z=ma_z $
Il mio testo riporta invece:
$ -mg-\betav_z=ma_z $
Dove sbaglio? Per quanto riguarda invece il segno del secondo membro come si ragiona? Essendo l'incognita non gli si attribuisce alcun segno? Dove posso trovare informazioni che mi chiariscano questi dubbi che ho sul modo di trattare le scomposizioni dei vettori nei sistemi di riferimento nell'applicazione del secondo principio della dinamica?
Risposte
[quote]Perché a questo punto si introduce quel − se ancora non è stato stabilito un riferimento?[\quote]
Perché quel segno “-“ significa semplicemente che la $vecF_r$ , cioè la forza resistente, è “opposta “ al vettore $vecv$ . Le formule vettoriali puoi scriverle senza alcun sistema di riferimento. Non esistono vettori negativi.
Una volta stabilito un riferimento, quindi essenzialmente un asse orientato nel tuo caso, le “componenti “ dei vettori sull’asse hanno segno, queste sì, a seconda del valore del $cos\theta$, che dipende dall’orientamento del vettore e dell’asse.
È importante capire bene la differenza tra vettori, “i“ componenti dei vettori secondo direzioni date (che sono ancora vettori) , “le” componenti secondo assi orientati,
che sono scalari con segno dipendente dal coseno dell’angolo, e i moduli dei vettori , che sono scalari positivi.
Consulta un buon libro, o buone dispense, di calcolo vettoriale, ce n’è una marea.
Perché quel segno “-“ significa semplicemente che la $vecF_r$ , cioè la forza resistente, è “opposta “ al vettore $vecv$ . Le formule vettoriali puoi scriverle senza alcun sistema di riferimento. Non esistono vettori negativi.
Una volta stabilito un riferimento, quindi essenzialmente un asse orientato nel tuo caso, le “componenti “ dei vettori sull’asse hanno segno, queste sì, a seconda del valore del $cos\theta$, che dipende dall’orientamento del vettore e dell’asse.
È importante capire bene la differenza tra vettori, “i“ componenti dei vettori secondo direzioni date (che sono ancora vettori) , “le” componenti secondo assi orientati,
che sono scalari con segno dipendente dal coseno dell’angolo, e i moduli dei vettori , che sono scalari positivi.
Consulta un buon libro, o buone dispense, di calcolo vettoriale, ce n’è una marea.
Grazie per le delucidazioni! Applicando queste nozioni comunque non riesco a risolvere il problema:
Ho provato a stabilire due diversi assi uno verso il basso e l'altro verso l'alto. Ho applicato i ragionamenti per il segno delle componenti ma risolvendo l'equazione differenziale non ritrovo un esponenziale con esponente negativo come dovrebbe essere. Inoltre non sono riuscito a trovare nulla per quanto riguarda:
"TS778LB":
Supponiamo che il moto avvenga solo lungo un asse verticale $ z $ che orientiamo verso l'alto. La componente di $ \vecP $ lungo tale asse vale $ |\vecP|cos\pi=-mg $; Quella di $ \vecF_R $ lungo $ z $ dovrebbe valere $ |\vecF_R|cos0=\betavcos0=\betav_z $ (Ragionamento che ho seguito: Dato che la componente di $ \vecv $ in tale riferimento è negativa e stando alla legge della forza $ \vecF_R $ che presenta il segno meno dovrei trovare una componente positiva di tale forza). Quindi l'equazione del moto lungo tale asse dovrebbe essere:
$ -mg+\betav_z=ma_z $
Il mio testo riporta invece:
$ -mg-\betav_z=ma_z $
Dove sbaglio??
Ho provato a stabilire due diversi assi uno verso il basso e l'altro verso l'alto. Ho applicato i ragionamenti per il segno delle componenti ma risolvendo l'equazione differenziale non ritrovo un esponenziale con esponente negativo come dovrebbe essere. Inoltre non sono riuscito a trovare nulla per quanto riguarda:
"TS778LB":
Per quanto riguarda invece il segno del secondo membro come si ragiona? Essendo l'incognita non gli si attribuisce alcun segno?
La forma vettoriale dell'equazione è :
$vecP + vecF_R = mveca$
innanzitutto, al secondo membro non si attribuisce segno, poiché i vettori non sono positivi o negativi . Il risultante vettoriale delle forze applicate deve essere uguale a $mveca$ . Ma spesso si può già stabilire un verso per il vettore $veca$ , dai dati del problema. Se per esempio il problema dice che un oggetto scivola verso il basso su un piano inclinato con attrito , si può dire che $veca$ è diretta verso il basso. Al limite, l'accelerazione può essere nulla, ma non potrà essere diretta verso l'alto per una caduta spontanea.
Nel tuo caso, l'equazione vettoriale si scrive :
$mvecg -\betavecv = mveca$
Proiettiamo ora questa equazione su un asse $z$ orientato verso l'alto . La prima componente sarà $-mg$ , e mi pare ovvio. La seconda componente, siccome la forza resistente (vettoriale) è opposta al vettore velocità , e il vettore velocità è diretto anch'esso verso il basso , sarà ancora negativa : $ -betav$ .
Il secondo membro , proiettato sull'asse , dà semplicemente $ma_z$ . Per cui , in definitiva :
$ -mg -betav = ma_z$
in accordo con quanto dice il tuo libro.
$vecP + vecF_R = mveca$
innanzitutto, al secondo membro non si attribuisce segno, poiché i vettori non sono positivi o negativi . Il risultante vettoriale delle forze applicate deve essere uguale a $mveca$ . Ma spesso si può già stabilire un verso per il vettore $veca$ , dai dati del problema. Se per esempio il problema dice che un oggetto scivola verso il basso su un piano inclinato con attrito , si può dire che $veca$ è diretta verso il basso. Al limite, l'accelerazione può essere nulla, ma non potrà essere diretta verso l'alto per una caduta spontanea.
Nel tuo caso, l'equazione vettoriale si scrive :
$mvecg -\betavecv = mveca$
Proiettiamo ora questa equazione su un asse $z$ orientato verso l'alto . La prima componente sarà $-mg$ , e mi pare ovvio. La seconda componente, siccome la forza resistente (vettoriale) è opposta al vettore velocità , e il vettore velocità è diretto anch'esso verso il basso , sarà ancora negativa : $ -betav$ .
Il secondo membro , proiettato sull'asse , dà semplicemente $ma_z$ . Per cui , in definitiva :
$ -mg -betav = ma_z$
in accordo con quanto dice il tuo libro.
Non sono tanto d'accordo con la spiegazione di Shackle. La cosa è molto più semplice.
Si sceglie una coordinata orientata verso una certa direzione. Chiamiamo $x$ questa coordinata, la velocità $dotx$ è positiva nel verso di questa coordinata, così come l'accelerazione $ddotx$. La scelta della coordinata e del suo verso positivo non ha nessun significato, è dettata solo dalla convenienza. Una volta scelta questa coordinata, le forze concordi diventano positive, le forze discordi negative.
Nel tuo esempio, se scegliamo una coordinata $x$ positiva verso l'alto, abbiamo che la forza peso è $-mg$.
Per quanto riguarda la forza resistente $-betavecv$, per quanto detto la velocità è diretta nel verso della coordinata scelta, quindi la proiezione del vettore $vecv$ è $dotx$, che moltiplicata per $-beta$ diventa $-betadotx$, quindi l'equazione di moto (NON esiste nessun secondo principio della dinamica in meccanica razionale...ma che vi insegnano) è:
$-mg-betadotx=mdotx$
Ancora riguardo alle notazioni, questa è meccanica razionale, non fisica generale di base, non si scrive a e v per velocità e accelerazioni, ma si scrive la coordinata e le sue derivate...stai a vedere vi fanno studiare da tesi americani.
Se invece di sceglie la coordinata x verso il basso l'equazione di moto è:
$mddotx=mg-betadotx$
Si sceglie una coordinata orientata verso una certa direzione. Chiamiamo $x$ questa coordinata, la velocità $dotx$ è positiva nel verso di questa coordinata, così come l'accelerazione $ddotx$. La scelta della coordinata e del suo verso positivo non ha nessun significato, è dettata solo dalla convenienza. Una volta scelta questa coordinata, le forze concordi diventano positive, le forze discordi negative.
Nel tuo esempio, se scegliamo una coordinata $x$ positiva verso l'alto, abbiamo che la forza peso è $-mg$.
Per quanto riguarda la forza resistente $-betavecv$, per quanto detto la velocità è diretta nel verso della coordinata scelta, quindi la proiezione del vettore $vecv$ è $dotx$, che moltiplicata per $-beta$ diventa $-betadotx$, quindi l'equazione di moto (NON esiste nessun secondo principio della dinamica in meccanica razionale...ma che vi insegnano) è:
$-mg-betadotx=mdotx$
Ancora riguardo alle notazioni, questa è meccanica razionale, non fisica generale di base, non si scrive a e v per velocità e accelerazioni, ma si scrive la coordinata e le sue derivate...stai a vedere vi fanno studiare da tesi americani.
Se invece di sceglie la coordinata x verso il basso l'equazione di moto è:
$mddotx=mg-betadotx$
Ringrazio Vulplasir per l'ineccepibile spiegazione, migliore della mia. Sí, siamo nell' ambito della meccanica razionale, ed è più giusto trattare il problema con il rigore che essa impone . Ma credo che agli studenti che studiano Fisica1 tante nozioni non vengano impartite, per cui rimangono allo stato di nebulosa .
A giudicare dalle altre domande dell'utente credo che gli argomenti siano più avanzati rispetto a un corso base di fisica, quindi si tratta di meccanica razionale o qualcosa di simile, secondo me è bene che i vari $v$ e $a$ vengano dimenticati
"Vulplasir":
Nel tuo esempio, se scegliamo una coordinata $ x $ positiva verso l'alto, abbiamo che la forza peso è $ -mg $.
Per quanto riguarda la forza resistente $ -betavecv $, per quanto detto la velocità è diretta nel verso della coordinata scelta, quindi la proiezione del vettore $ vecv $ è $ dotx $, che moltiplicata per $ -beta $ diventa $ -betadotx $, quindi l'equazione di moto è:
$ -mg-betadotx=mdotx $
Se ho capito bene, se scelgo una coordinata $ x $ positiva verso l'alto allora saranno positive verso l'alto anche $ dotx $ e $ ddotx $. Ora se il corpo sta cadendo verso il basso significa che la sua velocità è diretta nel verso delle $ dotx $ negative quindi la sua componente lungo tale asse sarà negativa. Moltiplicandola per $ -\beta $ non dovrebbe fornire una componente positiva per $ \vecF_R $ portando alla seguente equazione del moto:
$ -mg+\betadotx=mddotx $ ?
No, il corpo non sta cadendo da nessuna parte, non sai dove va il corpo.
Quindi mentre di $ \vecP=m\vecg $ sappiamo che $ \vecg $ è sempre diretta in basso e quindi possiamo ragionare sui segni delle sue componenti a seconda del verso del sistema, di $ \vecF_R=-\beta\vecv $ non sappiamo nulla su $ \vecv $ e quindi la sua componente sarà sempre $ -\betav $ indipendentemente dal verso del sistema ?
Ti avevo già detto che $-beta vecv$ significa che la forza resistente (vettore!) è opposta al vettore velocità $vecv$, e questo non dipende da alcun asse.
Il tuo problea è che "vedi" il moto del corpo ancor prima di scrivere la sua equazione del moto, sbagliando. Tu vedendo la forza peso mg, pensi che il corpo "stia andando in basso", e orientando un asso in alto allora la componente della velocità deve essere negativa, niente di più sbagliato. Il moto del corpo è determinato dall'equazione di moto e soprattutto dalle condizioni iniziali. Se tu lanci la massa m in alto, mentre va in alto la sua velocità è diretta in alto, mica in basso...non puoi sapere dove si muoverà nè tantomeno ti interessa, l'unica cosa che ti interessa sapere è l'andamento temporale di una certa coordinata scelta a piacimento. Se scegli la coordinata positiva in alto, allora per te il corpo, nell'istante in cui ne scrivi l'equazione differenziale, si sta muovendo in alto, con velcità in alto e accelerazione in alto, (se questo accada o meno non ha nessuna importanza), in base a queste considerazioni puoi dire per esempio che una forza viscosa $-betavecv$ avrà componente $-betadotx$, mentre una forza elastica $-kvecx$ avrà componente $-kx$, e questo in qualunque modo scegli la coordinata, le forze elastiche e viscose avranno sempre quelle componenti! Cioè nello scrivere l'equazione differenziale proiettando, è come se ti chiedessi: come agirebbero queste forze se in un qualche istante $x$, $dotx$ e $ddotx$ del punto fossero dirette in questa direzione
Quindi libero da pregiudizi sul moto che possa effettuare un corpo il ragionamento è:
Scelgo la coordinata positiva in alto, allora per me il corpo in quell'istante si muove verso l'alto con velocità e accelerazione verso l'alto. Rispetto a questa situazione la forza peso che per sua natura agisce verso il basso avrà componente negativa nel mo riferimento. La forza di viscosità agirà nel verso opposto alla velocità quindi nel mio riferimento (che "punta" al positivo) avrà componente negativa. L'equazione del moto si scrive (scusa per il formalismo):
$ -mg-\betav=m\frac{dv}{dt} $
(Per il segno del secondo membro assumo positività sempre per la supposizione fatta di vedere il corpo in quell'istante muoversi con velocità e accelerazione concorde con il riferimento)
La soluzione:
$ v(t)=(\frac{mg}{\beta}+v_0)e^{-t\frac{\beta}{m}}-\frac{mg}{\beta} $
Ora, data la negatività della velocità limite, possiamo dedurre che la velocità del corpo è diretta verso il basso!
Stesso ragionamento posso fare orientando il riferimento in basso ottenendo una velocità limite positiva! Poi potrei ottenere anche il caso del lancio in alto del corpo ragionando sul segno di $ v_0 $.
Ho un ultimo dubbio:
$ \vecP $ come vettore lo posso sempre disegnare (diretto verso il basso secondo la verticale e con modulo pari ad $mg$) e quindi posso ragionare direttamente sugli angoli che forma con gli assi per valutarne le componenti. $ \vecF_R $ invece, dipendente dalla velocità del corpo (incognita che devo ricavare dall'equazione del moto), non può essere disegnato a priori?
Scelgo la coordinata positiva in alto, allora per me il corpo in quell'istante si muove verso l'alto con velocità e accelerazione verso l'alto. Rispetto a questa situazione la forza peso che per sua natura agisce verso il basso avrà componente negativa nel mo riferimento. La forza di viscosità agirà nel verso opposto alla velocità quindi nel mio riferimento (che "punta" al positivo) avrà componente negativa. L'equazione del moto si scrive (scusa per il formalismo):
$ -mg-\betav=m\frac{dv}{dt} $
(Per il segno del secondo membro assumo positività sempre per la supposizione fatta di vedere il corpo in quell'istante muoversi con velocità e accelerazione concorde con il riferimento)
La soluzione:
$ v(t)=(\frac{mg}{\beta}+v_0)e^{-t\frac{\beta}{m}}-\frac{mg}{\beta} $
Ora, data la negatività della velocità limite, possiamo dedurre che la velocità del corpo è diretta verso il basso!
Stesso ragionamento posso fare orientando il riferimento in basso ottenendo una velocità limite positiva! Poi potrei ottenere anche il caso del lancio in alto del corpo ragionando sul segno di $ v_0 $.
Ho un ultimo dubbio:
$ \vecP $ come vettore lo posso sempre disegnare (diretto verso il basso secondo la verticale e con modulo pari ad $mg$) e quindi posso ragionare direttamente sugli angoli che forma con gli assi per valutarne le componenti. $ \vecF_R $ invece, dipendente dalla velocità del corpo (incognita che devo ricavare dall'equazione del moto), non può essere disegnato a priori?
No, non può essere disegnato a priori, può essere disegnato solo se assegni al punto una certa velocità. Se te sai che in un qualche istante il punto si sta muovendo in basso con velocità $vecv$, la forza agente in quell'istante la puoi disegnare.
Nell'esempio fatto si è assunto che il moto del punto fosse verticale, niente ci assume di considerare una generica terna x,y,z su cui scrivere:
$mddotz=-mg-betadotz$
$mddoty=-betadoty$
$mddotx=-betadotx$
Nell'esempio fatto si è assunto che il moto del punto fosse verticale, niente ci assume di considerare una generica terna x,y,z su cui scrivere:
$mddotz=-mg-betadotz$
$mddoty=-betadoty$
$mddotx=-betadotx$
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