Forma tensoriale degli operatori momento angolare
Vorrei sapere se qualcuno può indicarmi come si ricavano le espressioni degli operatori della meccanica quantistica terza componente del momento angolare e quadrato del momento angolare in coordinate sferiche.
Sono riuscito a ricavarle trovandomi le espressioni delle derivate ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z in cordinate sferiche e sostituendole nel espressione degli operatori in cordinate ortogonali, viene ma è piutosto lungo, non è possibile ottenere lo stesso risultato lavorando coi tensori in notazione indiciale come si fa ad esempio col laplaciano o la divergenza?
Ci ho provato ma forse sbaglio a impostare il problema, qualcuno sa dirmi anche solo come cominciare?
P.S. se qualcuno non sa nulla di meccanica quantistica il problema equivale matematicamente a calcolarsi (rΛ▼)² e la componente z di (rΛ▼) in coordinate sferiche, con r=(x,y,z), ▼=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) e per Λ intendo il prodotto esterno. Io vorrei la soluzione con l'uso della notazione indiciale dei tensori.
Grazie per qualunque aiuto.
Sono riuscito a ricavarle trovandomi le espressioni delle derivate ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z in cordinate sferiche e sostituendole nel espressione degli operatori in cordinate ortogonali, viene ma è piutosto lungo, non è possibile ottenere lo stesso risultato lavorando coi tensori in notazione indiciale come si fa ad esempio col laplaciano o la divergenza?
Ci ho provato ma forse sbaglio a impostare il problema, qualcuno sa dirmi anche solo come cominciare?
P.S. se qualcuno non sa nulla di meccanica quantistica il problema equivale matematicamente a calcolarsi (rΛ▼)² e la componente z di (rΛ▼) in coordinate sferiche, con r=(x,y,z), ▼=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) e per Λ intendo il prodotto esterno. Io vorrei la soluzione con l'uso della notazione indiciale dei tensori.
Grazie per qualunque aiuto.
Risposte
Guarda io di meccanica quantistica non so nulla quindi ho capito il 10% di quello che hai scritto! 
Forse(*) questa identita' potrebbe esserti utile:
$ [ (0,-c,b) , (c,0,-a) , (-b,a,0) ] vec v = [(a),(b),(c)] ^^ vec v $
Questo dovrebbe permetterti di esprimere in modo indiciale:
$ grad ^^ vec v $
Da li ad esprimere il tutto in coordinate sferiche c'e' comunque una marea di conti barbosi da fare...
--------------------------------------------
(*) Non so se questo ti serve a qualche cosa perche' non ho capito bene il problema...
Forse(*) questa identita' potrebbe esserti utile:
$ [ (0,-c,b) , (c,0,-a) , (-b,a,0) ] vec v = [(a),(b),(c)] ^^ vec v $
Questo dovrebbe permetterti di esprimere in modo indiciale:
$ grad ^^ vec v $
Da li ad esprimere il tutto in coordinate sferiche c'e' comunque una marea di conti barbosi da fare...
--------------------------------------------
(*) Non so se questo ti serve a qualche cosa perche' non ho capito bene il problema...
Il problema riguarda l'uso della notazione indiciale dei tensori per determinare in coordinate generiche un espressione vettoriale.
In particolare in questo caso (rΛ▼)² dovrebbe diventare in coordinate sferiche:
Al pari di come ▼²f diventa:
Solo che in questo secondo caso basta applicare la formuletta che si trova sui libri:
Io volevo sapere se è possibile ottenere un equivalente di questa formula (che è appunto in notazione indiciale) per il primo caso (rΛ▼)² e per la terza componente di (rΛ▼) (che dovrebbe venire sostituendo alla notazione indiciale le coordinate sferiche ∂/∂φ)
Sembra che nessun testo o sito riporti i passaggi, partono tutti dalla formula dandola scontata.....
In particolare in questo caso (rΛ▼)² dovrebbe diventare in coordinate sferiche:
Al pari di come ▼²f diventa:
Solo che in questo secondo caso basta applicare la formuletta che si trova sui libri:
Io volevo sapere se è possibile ottenere un equivalente di questa formula (che è appunto in notazione indiciale) per il primo caso (rΛ▼)² e per la terza componente di (rΛ▼) (che dovrebbe venire sostituendo alla notazione indiciale le coordinate sferiche ∂/∂φ)
Sembra che nessun testo o sito riporti i passaggi, partono tutti dalla formula dandola scontata.....
Penso che l'unica sia porre:
$ [ (x_1),(x_2),(x_3) ] = vec F(\theta, \phi, \rho) $
E poi applicare la regola di derivazione delle funzioni composte armandosi di paziena ed eventualmente usando la notazione matriciale per l'operatore... Cosi' si ottiene la formula in coordinate sferiche...
Non so se esistono metodi piu' semplici....
$ [ (x_1),(x_2),(x_3) ] = vec F(\theta, \phi, \rho) $
E poi applicare la regola di derivazione delle funzioni composte armandosi di paziena ed eventualmente usando la notazione matriciale per l'operatore... Cosi' si ottiene la formula in coordinate sferiche...
Non so se esistono metodi piu' semplici....
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