Forma quadratica dell'energia cinetica
Ciao a tutti. Avrei una domanda da porvi sull'energia cinetica. Vorrei capire perchè generalmente l'energia cinetica è rappresentata da una forma quadratica? Cioè a cosa sono dovuti i termini quadratici, lineari e costanti all'interno dell'espressione dell'energia cinetica?
Risposte
Dal II principio della dinamica:
[tex]\vec{f}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt}[/tex]
calcoliamo il lavoro di tale forza agente su un punto materiale; detto [tex]d\vec{s}[/tex] lo spostamento elementare:
[tex]\vec{f}\cdot d\vec{s}=m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec{s}=m\vec{v}\cdot d\vec{v}=\frac{1}{2}md(\vec{v}\cdot\vec{v})=d(\frac{1}{2}mv^2)[/tex]
dove [tex]v^2=\vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2[/tex], integrando fra due punti qualunque due punti qualunque della traiettoria (poiché [tex]d(\frac{1}{2}mv^2)[/tex] è un "differenziale esatto"), si ha:
[tex]\int_A^B\vec{f}\cdot d\vec{s}=\int_A^Bd(\frac{1}{2}mv^2)=\frac{1}{2}m(v_B^2-v_A^2)[/tex]
Definiamo energia cinetica del punto materiale la quantità:
[tex]K:=\frac{1}{2}mv^2\rightarrow L_{AB}=K_B-K_A[/tex]
il che spiega da dove viene il termine [tex]v^2[/tex].
La relazione sopra è nota come teorema dell'energia cinetica o delle forze vive.
[tex]\vec{f}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt}[/tex]
calcoliamo il lavoro di tale forza agente su un punto materiale; detto [tex]d\vec{s}[/tex] lo spostamento elementare:
[tex]\vec{f}\cdot d\vec{s}=m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec{s}=m\vec{v}\cdot d\vec{v}=\frac{1}{2}md(\vec{v}\cdot\vec{v})=d(\frac{1}{2}mv^2)[/tex]
dove [tex]v^2=\vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2[/tex], integrando fra due punti qualunque due punti qualunque della traiettoria (poiché [tex]d(\frac{1}{2}mv^2)[/tex] è un "differenziale esatto"), si ha:
[tex]\int_A^B\vec{f}\cdot d\vec{s}=\int_A^Bd(\frac{1}{2}mv^2)=\frac{1}{2}m(v_B^2-v_A^2)[/tex]
Definiamo energia cinetica del punto materiale la quantità:
[tex]K:=\frac{1}{2}mv^2\rightarrow L_{AB}=K_B-K_A[/tex]
il che spiega da dove viene il termine [tex]v^2[/tex].
La relazione sopra è nota come teorema dell'energia cinetica o delle forze vive.
Bellissima questione !
Perfetto friction, pero' cosi' diamo per scontato che $f = m a$ e che l'energia sia un lavoro ...
Si potrebbe stare ad un livello piu' generale invocando la lagrangiana e alcune simmetrie ...
Perfetto friction, pero' cosi' diamo per scontato che $f = m a$ e che l'energia sia un lavoro ...
Si potrebbe stare ad un livello piu' generale invocando la lagrangiana e alcune simmetrie ...
Si potrebbe stare ad un livello piu' generale invocando la lagrangiana e alcune simmetrie
Era proprio ciò a cui volevo fare riferimento. Cioè, partendo dalla dipendenza delle posizioni dalle variaili lagrangiane:
$$OP_i=OP_i(q^1,...,q^n,t) \quad i=1,2,...,N$$
derivando totalmente rispetto al tempo
$$\vec{v}_i=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial OP_i}{\partial q^h}\dot{q}^h+ \frac{\partial OP_i}{\partial t}$$
Come conseguenza si vede che l'energia cinetica del sistema risulta una funzione quadratica delle $\dot{q}^h$
e solo nel caso di vincoli indipendenti dal tempo si avrà che l'energia cinetica sarà uguale all'espressione ricavata da @friction
Ora, ciò che vorrei capire è, se i termini lineari e costanti dell'energia cinetica, sono attribuibili esclusivamente al vincolo? Inoltre sta nell'energia cinetica la differenza tra energia generalizzata ed energia meccanica di un sistema?
Scusa, ma non capisco bene le domande. La questione, la imposterei semplicemente nei seguenti termini.
La lagrangiana della particella libera in un sistema di riferimento cartesiano deve essere $L = L(v^2)$ perché solo così si salvano l'omogeneità di spazio e tempo e l'isotropia della spazio (principi molto generali !).
Detto questo, si impone l'omogeneità del tempo alla lagrangiana e si ottiene la definizione di una grandezza, detta energia, che si conserva.
Da ciò segue il resto ...
La lagrangiana della particella libera in un sistema di riferimento cartesiano deve essere $L = L(v^2)$ perché solo così si salvano l'omogeneità di spazio e tempo e l'isotropia della spazio (principi molto generali !).
Detto questo, si impone l'omogeneità del tempo alla lagrangiana e si ottiene la definizione di una grandezza, detta energia, che si conserva.
Da ciò segue il resto ...
Ok provo a riformulare la domanda. Prendo come riferimento alcune dispense di meccanica razionale del prof Luigi Galgani
Si può dare una spiegazione fisica ai termini di ordine 1 e 0 (T1 +T0) dell'energia cinetica?
Se foste interessati il link delle dispense è il seguente
http://www.mat.unimi.it/users/galgani/MecRaz%201/hamilton.pdf
"Abbiamo già osservato (e d’altra parte si constata immediatamente) che nei sistemi meccanici “naturali”, in cui cioè L = T − V , si ha che l’energia cinetica T è decomposta nella somma T = T2 +T1 +T0 di polinomi omogenei di ordine 2 e rispettivamente 1 e 0 nelle velocità $\dot{q}$, e in conseguenza risulta H = T2 − T0 + V , (con T2 , T0 riespressi in funzione di q, p, t). In particolare, nel caso comunissimo di vincoli indipendenti dal tempo si ha H =T +V"
Si può dare una spiegazione fisica ai termini di ordine 1 e 0 (T1 +T0) dell'energia cinetica?
Se foste interessati il link delle dispense è il seguente
http://www.mat.unimi.it/users/galgani/MecRaz%201/hamilton.pdf
Se esprimo $v^2$ in funzione delle coordinate generalizzate, con la formula che riporti sopra, vengono termini omogenei di secondo grado nelle $dot q$ (ci sono termini anche nelle $q$).
La ricerca di significati fisici di questo fatto mi sembra poco interessante ... perche' ho sempre disprezzato i vincoli dal punto di vista fisico ... che per me si riducono alla semplice determinazione dei giusti gradi di liberta' con le relative coordinate generalizzate...
La ricerca di significati fisici di questo fatto mi sembra poco interessante ... perche' ho sempre disprezzato i vincoli dal punto di vista fisico ... che per me si riducono alla semplice determinazione dei giusti gradi di liberta' con le relative coordinate generalizzate...
La ricerca di significati fisici di questo fatto mi sembra poco interessante ... perche' ho sempre disprezzato i vincoli dal punto di vista fisico ... che per me si riducono alla semplice determinazione dei giusti gradi di liberta' con le relative coordinate generalizzate...
Il problema è che non puoi non tener conto dei vincoli e di come essi varino nel tempo, in quanto, se consideriamo l'energia generalizzata, essa differisce dall'energia meccanica del sistema proprio per la presenza di una dipendenza del vincolo dal tempo. Mi sbaglio?
Mi spiego meglio. A livello di fisica teorica, di vincoli si parla poco, nei testi che conosco io.
La lagrangiana di un sistema isolato a $N$ gradi di libertà è $L(q_i, dot q_i)$. La variabile tempo $t$ è assente per il principio di omogeneità del tempo.
Lavorando un po' con i differenziali si ottiene che la grandezza $E = sum_{1=1}^N dot q_i {partial L}/{partial dot q_i} - L$ si conserva ed è detta energia del sistema.
Io so solo questo, mea culpa ...
La lagrangiana di un sistema isolato a $N$ gradi di libertà è $L(q_i, dot q_i)$. La variabile tempo $t$ è assente per il principio di omogeneità del tempo.
Lavorando un po' con i differenziali si ottiene che la grandezza $E = sum_{1=1}^N dot q_i {partial L}/{partial dot q_i} - L$ si conserva ed è detta energia del sistema.
Io so solo questo, mea culpa ...
So che è una domanda molto vecchia ma provo a rispondere comunque per chi cerca la risposta oggi.
Credo che quello che cerchi sia il caso in cui si sceglie un cambiamento di coordinate che dipende dal tempo, oltre che dalle q. In quel caso nella derivata rispetto al tempo delle x compare anche un termine di grado 0, responsabile di termini di grado 0 e 1 nell'energia cinetica.
Credo che quello che cerchi sia il caso in cui si sceglie un cambiamento di coordinate che dipende dal tempo, oltre che dalle q. In quel caso nella derivata rispetto al tempo delle x compare anche un termine di grado 0, responsabile di termini di grado 0 e 1 nell'energia cinetica.
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