Forma differenziale dell'equazione conduzione calore

[Sk_Anonymous]

Si verifica sperimentalmente che data una qualunque lastra a facce piane parallele, l'equazione che la temperatura (uniforme) delle due facce, lo spessore della lastra e la superficie di una sua faccia, il calore trasmesso per conduzione attraverso il mezzo e il tempo in cui ciò è accaduto, soddisfano, è:
$Q/t=kS(T_2-T_1)/l$ (1), dove $k$ è una costante di proporzionalità detta coefficiente di conducibilità termica.
L'equazione (1), come dice il mio libro, può essere scritta in forma "differenziale" come $Q/t=-kS(dT)/dx$ (2).
Domanda: l'equazione (2) è semplicemente un'equazione nelle incognite $Q$, $t$, $S$, $dT$, $dx$, dove $dT$ e $dx$ assumono dei valori "molto piccoli"?
Il valore del coefficiente $k$ che si determina usando l'equazione (1), è un valore medio calcolato su un intervallo di temperatura?
Siccome nell'equazione scritta nella forma (2) $dT$ è una differenza di temperatura molto piccola, si può riferire il valore del coefficiente di conducibilità termica $k$ calcolato per mezzo dell'equazione (2) ad un preciso valore di temperatura piuttosto che ad un intervallo?
Grazie per le risposte.

[Sk_Anonymous]

UP!

[Sk_Anonymous]

Visto che sono passate oltre 24 ore, faccio un altro UP!

[yoshiharu]

"lisdap":
Domanda: l'equazione (2) è semplicemente un'equazione nelle incognite $Q$, $t$, $S$, $dT$, $dx$, dove $dT$ e $dx$ assumono dei valori "molto piccoli"?

Le incognite in quell'equazione sono solo le funzioni $T(t,x)$ (temperatura) e la quantita' di calore scambiata nell'unita' di tempo. In realta' bisognerebbe parlare di flusso di calore, una specie di "corrente", in effetti: questa corrente e' proporzionale al gradiente della temperatura cambiato di segno: in una dimensione spaziale (la simmetria del tuo problema lo riduce a un problema 1D), si tratta semplicemente della derivata della temperatura rispetto a $x$.

Nel tuo caso la lamina e' molto sottile e quindi sei "vicino" al limite in cui [tex]\frac{\Delta T}{\Delta x}[/tex] diventa la derivata [tex]\frac{d T}{d x}[/tex].

Normalmente si considera il passaggio di calore nell'unita' di tempo per tempi "molto piccoli", nella forma differenziale dell'equazione, per cui in effetti anche $Q$ e $t$ sono - nel limite - infinitesimi: il problema almeno nel caso semplice e' stazionario quindi almeno in questo reparto non succede nulla di drammatico. In generale dovresti pensare al flusso di calore differenziale, punto per punto e istante per istante.

Il valore del coefficiente $k$ che si determina usando l'equazione (1), è un valore medio calcolato su un intervallo di temperatura?

In linea di principio conoscendo l'espressione delle funzioni del trasferimento di calore e della temperatura in funzione del tempo e della posizione puoi anche ricavarti la conducibilita' termica, anche se in genere il problema e' l'inverso.

Siccome nell'equazione scritta nella forma (2) $dT$ è una differenza di temperatura molto piccola, si può riferire il valore del coefficiente di conducibilità termica $k$ calcolato per mezzo dell'equazione (2) ad un preciso valore di temperatura piuttosto che ad un intervallo?

Ma il punto della legge di Fourier e' proprio che il flusso di calore e' proporzionale al gradiente della temperatura cambiato di segno: il coefficiente di proporzionalita' e' una costante, se il corpo e' omogeneo (se non lo e', ovviamente la faccenda si complica un pochino).