Flusso magnetico spira
il testo del problema è questo:
a) Data una spira circolare di raggio R in cui fluisce una corrente di intensità I, si determini il flusso del campo magnetico generato dalla corrente attraverso il piano della spira.
b) Si dica inoltre, giustificando la risposta, se il flusso sarebbe maggiore o minore nel caso in cui la spira fosse quadrata di lato 2R.
nel punto b) la spira quadrata genera un campo magnetico diverso da quella circolare giusto? quindi devo ricalcolare il campo magnetico per la spira quadrate e poi moltiplicarlo per la nuova superficie della spira in modo da trovare il flusso. è corretto?
a) Data una spira circolare di raggio R in cui fluisce una corrente di intensità I, si determini il flusso del campo magnetico generato dalla corrente attraverso il piano della spira.
b) Si dica inoltre, giustificando la risposta, se il flusso sarebbe maggiore o minore nel caso in cui la spira fosse quadrata di lato 2R.
nel punto b) la spira quadrata genera un campo magnetico diverso da quella circolare giusto? quindi devo ricalcolare il campo magnetico per la spira quadrate e poi moltiplicarlo per la nuova superficie della spira in modo da trovare il flusso. è corretto?
Risposte
Senza dubbio proprio due "belle" domande; da dove arrivano? 
Giusto!
No, il campo prodotto da una spira circolare o quadrata che sia, è funzione del punto, non è costante su tutta la superficie.
"FabioA_97":
... la spira quadrata genera un campo magnetico diverso da quella circolare giusto?
Giusto!
"FabioA_97":
... quindi devo ricalcolare il campo magnetico per la spira quadrate e poi moltiplicarlo per la nuova superficie della spira in modo da trovare il flusso. è corretto?
No, il campo prodotto da una spira circolare o quadrata che sia, è funzione del punto, non è costante su tutta la superficie.
esame fisica 2 polimi, come faresti il punto b quindi?
io ho calcolato i campi magnetici generati e mi sono usciti questi:
spira circolare raggio R:
$ B=(mu_0i)/(2R) $
spira quadrata lato 2R:
$ B=(sqrt(2)mu_0i)/(piR) $
il flusso lo calcolo cosi:
$ phi(B)=intB\cdot ndS $
io ho calcolato i campi magnetici generati e mi sono usciti questi:
spira circolare raggio R:
$ B=(mu_0i)/(2R) $
spira quadrata lato 2R:
$ B=(sqrt(2)mu_0i)/(piR) $
il flusso lo calcolo cosi:
$ phi(B)=intB\cdot ndS $
"FabioA_97":
... perche non basta fare B⋅S ? dove S è la superficie della spira ?
Te l'ho detto perché non basta; il campo $\vec B$ è funzione del punto P, non è costante, e non ha nemmeno una componente normale costante su diversi punti di quella superficie S.
Quelli da te indicati sono solo i campi nel centro delle spire.
ok quello l'ho capito infatti avevo modificato il mio messaggio, quindi come si risolve l'integrale del flusso?
Determinando $\vec B(P)$ e andando ad integrare, come hai scritto, il suo prodotto scalare con $\vec {dS}$, e la "bellezza" di quelle domande sta proprio in quell'integrale. 
ma B(P) come lo trovo? è un casino no?
Eccome! ... e bello grande. 
io ho fatto cosi ma non trovo B(P),
$ dB=(mu_0i dLxxr)/ (4piR^2)=(mu_0i dLsintheta)/ (4piR^2) $ dove $ theta=pi/2 $ quindi
$ B=(mu_0i )/ (4piR^2)int dL=(mu_0i )/ (4piR^2)2piR=(mu_0i )/ (2R) $, come trovo B(P)?
$ dB=(mu_0i dLxxr)/ (4piR^2)=(mu_0i dLsintheta)/ (4piR^2) $ dove $ theta=pi/2 $ quindi
$ B=(mu_0i )/ (4piR^2)int dL=(mu_0i )/ (4piR^2)2piR=(mu_0i )/ (2R) $, come trovo B(P)?
Generalizzando quello che hai fatto, ovvero andando ad integrare il campo elementare $dB$ associato ad ogni tratto $dL$ di spira, non per il solo punto centrale, ma per il generico punto P, interno alla spira.
ma l'induzione c'entra qualcosa?
Quale "induzione" 
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PS
Ci sono anche metodi alternativi, oltre a quello indicato (via Ampere Laplace), per ottenere quel flusso, ma in ogni caso ci si va a scontrare con i "soliti" integrali ellittici , ... che necessariamente portano a una soluzione numerica o al limite simbolica approssimata, nel caso che il raggio della spira sia molto superiore al raggio del filo conduttore che la forma: nel nostro caso, per \(R\gg a\)
$\phi\approx \mu_0 R\ i \(ln((8R)/a)-2)$
Per quanto riguarda poi la richiesta del punto b), ricordando che a parità di lunghezza del circuito il valore di induttanza è approssimativamente indipendente da (limitate) variazioni della forma circuitale, avremo che essendo la spira quadrata di lunghezza $ 8R \gt 2\piR$, possiamo stimare che il suo flusso concatenato sarà superiore a quello della spira circolare per un fattore \(k\approx 8/(2\pi)\approx 1.3\).
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PS
Ci sono anche metodi alternativi, oltre a quello indicato (via Ampere Laplace), per ottenere quel flusso, ma in ogni caso ci si va a scontrare con i "soliti" integrali ellittici
, ... che necessariamente portano a una soluzione numerica o al limite simbolica approssimata, nel caso che il raggio della spira sia molto superiore al raggio del filo conduttore che la forma: nel nostro caso, per \(R\gg a\)$\phi\approx \mu_0 R\ i \(ln((8R)/a)-2)$
Per quanto riguarda poi la richiesta del punto b), ricordando che a parità di lunghezza del circuito il valore di induttanza è approssimativamente indipendente da (limitate) variazioni della forma circuitale, avremo che essendo la spira quadrata di lunghezza $ 8R \gt 2\piR$, possiamo stimare che il suo flusso concatenato sarà superiore a quello della spira circolare per un fattore \(k\approx 8/(2\pi)\approx 1.3\).
ma nel punto b se io rispondessi che una spira quadrata di lato 2R ha flusso maggiore di quella circolare perché ha lunghezza maggiore è giusto? e poi visto che si parla di flusso non dovrei confrontare anche le superfici delle due spire?
"FabioA_97":
ma nel punto b se io rispondessi che una spira quadrata di lato 2R ha flusso maggiore di quella circolare perché ha lunghezza maggiore è giusto?
Si, ma dovresti come richiesto "giustificare la risposta", non solo dire che lo hai letto da qualche parte.
"FabioA_97":
... e poi visto che si parla di flusso non dovrei confrontare anche le superfici delle due spire?
Allora forse non sono riuscito a spiegarmi: come detto in precedenza, calcoli complessi portano a quella relazione approssimata, per il valore del flusso di una spira circolare; calcoli altrettanto complessi portano alla seguente relazione per il flusso di una spira quadrata di lato L
$\phi\approx (2 \mu_0 L \ i)/(\pi) \(ln(L/a)-0.774)$
che porterebbe a dire che una spira quadrata di pari lunghezza di quella circolare, presenta un flusso concatenato circa uguale (ma leggermente inferiore) e invece per una spira quadrata di lunghezza 8R un flusso superiore.
Ma queste considerazioni non le possiamo fare se non siamo riusciti a ricavarcele autonomamente, come sembrerebbe richiedere il testo di quel problema
Quello che mi chiedo è: cosa aveva in mente l'estensore di quel problema?
Non vedo altra alternativa che supporre costante e pari a quello centrale il campo B, su tutta la superficie, come hai fatto tu, ma non lo trovo corretto.
Non resterebbe che confrontare i risultati dei due metodi, ma il problema è che, senza conoscere il raggio $a$ del filo conduttore, questo confronto non è possibile.
Io, andrei a chiedere spiegazioni.
"RenzoDF":
Non vedo altra alternativa che supporre costante e pari a quello centrale il campo B, su tutta la superficie, come hai fatto tu, ma non lo trovo corretto.
dipende da quanto sono complicati i calcoli, non ne ho idea ma se dovessero essere veramente complicati quella potrebbe essere una soluzione
Come ti ho già detto i calcoli sono più che complicati, ad ogni modo, giusto per renderti conto della differenza, prova ad usare il prodotto da te ipotizzato fra campo centrale e superficie e confrontalo con il risultato che ti fornisce la relazione che ti ho indicato, oppure equivalentemente usa il seguente calcolatore online
https://technick.net/tools/inductance-calculator/circular-loop/
per determinare l'induttanza del loop (assumendo un raggio del conduttore piccolo rispetto al raggio della spira).
https://technick.net/tools/inductance-calculator/circular-loop/
per determinare l'induttanza del loop (assumendo un raggio del conduttore piccolo rispetto al raggio della spira).
Giusto per mia curiosità, ho provato a farlo io e, per una spira di 5 centimetri di raggio, realizzata con un conduttore di 2 millimetri di diametro, avremo che i risultati per l'induttanza della spira (flusso per unità di corrente) sono i seguenti:
i) con la relazione che intendevi inizialmente utilizzare (diciamo H-demica)
$L=\phi/i=(B \ S)/i=(\mu_0 \ \pi R)/2\approx 99 \ "nH"$
ii) con la relazione analitica semplificata, valida per \(R \gg a\)
$L \approx \mu_0 R (ln ((8R)/a) -2)\approx 251 \ "nH"$
iii) con un simulatore agli elementi finiti (FEMM), ovvero il metodo che si usa nel mondo reale,
che permette di avere sia una rappresentazione vettoriale del campo, sia una mappa cromatica per la sua intensità
così come il valore del flusso concatenato e dell'induttanza della spira, che risulta
$L\approx 264 \ "nH"$
Esplicativi della differenza fra la determinazione H-demica e quella numerica di FEMM (e della relazione analitica approssimata) sono senza dubbio i seguenti grafici [nota]Il primo, per un tratto parziale centrale, il secondo per l'andamento di Bn sull'intero raggio R.[/nota] relativi all'andamento della componente normale del campo $B_n(r)$ in funzione del raggio (che mette anche in evidenza l'influenza del raggio $a$ del conduttore)
Lascio a te, ma soprattutto allo stesore di quel problema, trarre le conclusioni.
i) con la relazione che intendevi inizialmente utilizzare (diciamo H-demica)
$L=\phi/i=(B \ S)/i=(\mu_0 \ \pi R)/2\approx 99 \ "nH"$
ii) con la relazione analitica semplificata, valida per \(R \gg a\)
$L \approx \mu_0 R (ln ((8R)/a) -2)\approx 251 \ "nH"$
iii) con un simulatore agli elementi finiti (FEMM), ovvero il metodo che si usa nel mondo reale,
che permette di avere sia una rappresentazione vettoriale del campo, sia una mappa cromatica per la sua intensità
così come il valore del flusso concatenato e dell'induttanza della spira, che risulta
$L\approx 264 \ "nH"$
Esplicativi della differenza fra la determinazione H-demica e quella numerica di FEMM (e della relazione analitica approssimata) sono senza dubbio i seguenti grafici [nota]Il primo, per un tratto parziale centrale, il secondo per l'andamento di Bn sull'intero raggio R.[/nota] relativi all'andamento della componente normale del campo $B_n(r)$ in funzione del raggio (che mette anche in evidenza l'influenza del raggio $a$ del conduttore)
Lascio a te, ma soprattutto allo stesore di quel problema, trarre le conclusioni.
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