Flusso di un campo vettoriale attraverso una frontiera
Ciao a tutti
vi vorrei chiedere se c'è una "procedura standard" operativa quando si tratta di calcolare il suddetto flusso, del tipo:
passo1:leggere il testo dell'esercizio
e cosi via..
Per semplificare le cose vi sottopongo un esempio:
Io conosco l'espressione teorica del flusso di questo campo (integrale sulla frontiera di F*n) ma non so svolgerlo perchè non so identificare il vettore n.
La regione dello spazio in questo caso dovrebbe essere una sfera di raggio 2 centrata nell'origine a cui va sottratta pero' la regione con z<0 cioè la metà inferiore della sfera, e quella con z>1, ovvero rimane un "tronco di sfera".
Quindi x sarà da integrare tra -2 e 2, idem y, z tra 0 e 1 come da testo.
Applicando il teorema della divergenza (disobbedendo al testo) ottengo che l'integrale vale 16.
Un saluto e un ringraziamento
Edit: non so svolgerlo anche perchè non so come esplicitare l'integrale sulla frontiera argh
vi vorrei chiedere se c'è una "procedura standard" operativa quando si tratta di calcolare il suddetto flusso, del tipo:
passo1:leggere il testo dell'esercizio
e cosi via..
Per semplificare le cose vi sottopongo un esempio:
Io conosco l'espressione teorica del flusso di questo campo (integrale sulla frontiera di F*n) ma non so svolgerlo perchè non so identificare il vettore n.
La regione dello spazio in questo caso dovrebbe essere una sfera di raggio 2 centrata nell'origine a cui va sottratta pero' la regione con z<0 cioè la metà inferiore della sfera, e quella con z>1, ovvero rimane un "tronco di sfera".
Quindi x sarà da integrare tra -2 e 2, idem y, z tra 0 e 1 come da testo.
Applicando il teorema della divergenza (disobbedendo al testo) ottengo che l'integrale vale 16.
Un saluto e un ringraziamento
Edit: non so svolgerlo anche perchè non so come esplicitare l'integrale sulla frontiera argh
Risposte
prima di imbarcarti in complicati integrali devi analizzare la situazione, per vedere se non è più semplice di quanto non appaia: in effetti è così.
Come prima cosa puoi osservare che i componenti x e y del vettore non contribuiscono al flusso (perché?), quindi si tratta di calcolare solo il flusso del componente z.
P.S. quando hai calcolato il flusso tramite il teorema della divergenza avrai anche visto che questa vale 1 ovunque. Ti sei quindi ritrovato a calcolare un volume. Il tuo risultato non contiene $pi$. Questo ti dovrebbe insospettire sulla correttezza del calcolo, perché con una sfera è difficile disfarsene.
Come prima cosa puoi osservare che i componenti x e y del vettore non contribuiscono al flusso (perché?), quindi si tratta di calcolare solo il flusso del componente z.
P.S. quando hai calcolato il flusso tramite il teorema della divergenza avrai anche visto che questa vale 1 ovunque. Ti sei quindi ritrovato a calcolare un volume. Il tuo risultato non contiene $pi$. Questo ti dovrebbe insospettire sulla correttezza del calcolo, perché con una sfera è difficile disfarsene.
"kinder":
prima di imbarcarti in complicati integrali devi analizzare la situazione, per vedere se non è più semplice di quanto non appaia: in effetti è così.
Come prima cosa puoi osservare che i componenti x e y del vettore non contribuiscono al flusso (perché?), quindi si tratta di calcolare solo il flusso del componente z.
P.S. quando hai calcolato il flusso tramite il teorema della divergenza avrai anche visto che questa vale 1 ovunque. Ti sei quindi ritrovato a calcolare un volume. Il tuo risultato non contiene $pi$. Questo ti dovrebbe insospettire sulla correttezza del calcolo, perché con una sfera è difficile disfarsene.
Sul fatto che 16 non sia un bel risultato ci sono arrivato, avrei in qualche modo dovuto usare coordinate sferiche anche nell'integrale della divergenza,l'integrale come l'ho svolto io non era su quella superficie effettivamente..
a me viene $11/3pi$ in entrambi i modi
Sul perchè le prime due componenti non abbiano importanza nell'integrale non ne ho idea...perchè non ho idea di quale superficie si deve considerare..nel senso...sulle due "basi" del tronco n è diretto come il versore dell'asse z quindi è chiaro che le componenti x e y del campo non diano contributo al flusso...ma la frontiera non comprende anche la superficie che unisce queste due?
Eh kinder?? 
scusa la domanda....ma in questo caso come frontiera intende la curva di contorno?
"ELWOOD":
scusa la domanda....ma in questo caso come frontiera intende la curva di contorno?
Non ho capito bene cosa intendi, ma posso dirti che la frontiera di un volume altro non è che la superficie che lo delimita
a ok....un altro metodo era quello di parametrizzare direttamente le superfici e farne l'integrale.
Ma sbaglio o non c'è più un post che ieri c'era?? 
si infatti....quello di ben25..... 
"ELWOOD":
si infatti....quello di ben25.....
mistero
vabbè....te l'eri salvato almeno? 
"ELWOOD":
vabbè....te l'eri salvato almeno?
Eh no
, non mi è neanche saltato in mente...non sapevo che i post sparissero da un giorno all'altro...
vabbè....vedo se riesco in qualche modo a ricordarmelo....magari non sarà proprio uguale...
Praticamente ben25 aveva semplicemente applicato la relazione generale del flusso
$\bar{\Phi}(B)=\int\int \bar{F}\cdot dS\cdot \bar{n}$
ora le superfici da considerare sono 3.....le 2 di base e quella laterale.
Per la prima superficie di base vedi che la normale è diretta verso il basso quindi di componenti $(0,0,-1)$ quindi sopravvive solo la terza componente del campo ma in questa regione anche z vale 0 quindi non hai nessun contributo per il flusso
Per la seconda superficie, quella superiore, la cosa è analoga....ma in questo caso la normale assume valore $(0,0,1)$ e z vale 1....dunque il flusso è 1 sulla superficie....che vale $3\pi$
Ora per quella laterale non ti resta che trovare una bella parametrizzazione del tipo $\sigma(u,v)=(2\sin u\cos v,2\sin u\sin v,\cos u)$ con $(\pi)/3<=u<=(\pi)/2$ e $0<=v<=2\pi$
la normale la trovi col determinante Jacobiano della superficie....
forse non è la strada più semplice (perchè il calcolo del |J| è abbastanza rognosetto) ma è una strada giusta
Praticamente ben25 aveva semplicemente applicato la relazione generale del flusso
$\bar{\Phi}(B)=\int\int \bar{F}\cdot dS\cdot \bar{n}$
ora le superfici da considerare sono 3.....le 2 di base e quella laterale.
Per la prima superficie di base vedi che la normale è diretta verso il basso quindi di componenti $(0,0,-1)$ quindi sopravvive solo la terza componente del campo ma in questa regione anche z vale 0 quindi non hai nessun contributo per il flusso
Per la seconda superficie, quella superiore, la cosa è analoga....ma in questo caso la normale assume valore $(0,0,1)$ e z vale 1....dunque il flusso è 1 sulla superficie....che vale $3\pi$
Ora per quella laterale non ti resta che trovare una bella parametrizzazione del tipo $\sigma(u,v)=(2\sin u\cos v,2\sin u\sin v,\cos u)$ con $(\pi)/3<=u<=(\pi)/2$ e $0<=v<=2\pi$
la normale la trovi col determinante Jacobiano della superficie....
forse non è la strada più semplice (perchè il calcolo del |J| è abbastanza rognosetto) ma è una strada giusta
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