Flusso di un campo elettrico attraverso cavità semisferica
Salve, ho il seguente problema:
"Determinare il valore del flusso di un campo uniforme ($E=840N/C$) attraverso una cavità semisferica ($r=0.41m$) quando $vec E$ è parallelo all'asse della cavità".
Provo a risolverlo così:
$phi = Eint_Sds$ e, siccome la superficie è metà di quella della sfera,
$phi = E2pir^2$, ma il valore mi viene errato.
Non capisco dove sto sbagliando... Qualcuno potrebbe spiegarmi? grazie
"Determinare il valore del flusso di un campo uniforme ($E=840N/C$) attraverso una cavità semisferica ($r=0.41m$) quando $vec E$ è parallelo all'asse della cavità".
Provo a risolverlo così:
$phi = Eint_Sds$ e, siccome la superficie è metà di quella della sfera,
$phi = E2pir^2$, ma il valore mi viene errato.
Non capisco dove sto sbagliando... Qualcuno potrebbe spiegarmi? grazie
Risposte
Probabilmente non consideri che devi integrare il prodotto scalare fra il campo e la normale alla superficie, ma direi che in questo caso non occorra scomodare nessun integrale, per Gauss sarà immediato affermare che
$\phi=E\pi R^2$
semplicemente notando che il flusso attraverso la superficie semisferica dovrà essere pari a quello attraverso la superficie relativa al suo cerchio massimo che idealmente la chiude, per ogni punto della quale $\vec E$ sarà invece normale.
Se poi non ti va di "vincere facile" devi solo andare a parametrizzare la superficie semisferica e a risolvere un integrale doppio in $\varphi$ e $\theta$.
$\phi=E\pi R^2$
semplicemente notando che il flusso attraverso la superficie semisferica dovrà essere pari a quello attraverso la superficie relativa al suo cerchio massimo che idealmente la chiude, per ogni punto della quale $\vec E$ sarà invece normale.
Se poi non ti va di "vincere facile" devi solo andare a parametrizzare la superficie semisferica e a risolvere un integrale doppio in $\varphi$ e $\theta$.
scusa ma non riesco a seguirti...
a me viene intuitivo pensare che devo considerare il flusso sul cerchio massimo, poi su uno più piccolo, poi più piccolo ancora fino a quello di raggio zero, e sommare i contributi, considerando la semisfera orientata con il polo su e il cerchio massimo giù
a me viene intuitivo pensare che devo considerare il flusso sul cerchio massimo, poi su uno più piccolo, poi più piccolo ancora fino a quello di raggio zero, e sommare i contributi, considerando la semisfera orientata con il polo su e il cerchio massimo giù
Se stai tagliando a fette la semisfera, devi considerare che sulla generica superficie della zona sferica (infinitesima) il campo elettrico non è perpendicolare.
Prova a postare un disegno della geometria.
Prova a postare un disegno della geometria.
Il campo e la normale a ogni fetta della sfera sono paralleli, quindi non basta moltiplicare il campo per ogni fetta e sommare ogni contributo?
La normale è diversa per le diverse "fette" (zone sferiche), quella da te disegnata è la normale all'ultima "fetta".
Ma le "fette", ormai le abbiamo chiamate così 
, non sono parallele tra loro?
, non sono parallele tra loro?
Parallele ? ... devi considerare la superficie sferica della fetta, non la fetta come volume (segmento sferico).
Intendo dirti che la normale cambia da parallela a perpendicolare al campo scendendo verso la base.
Intendo dirti che la normale cambia da parallela a perpendicolare al campo scendendo verso la base.
ok, ora ho capito dove sbagliavo con la normale, tuttavia non mi è chiaro come sia così immediato affermare che
$phi = Epir^2$
$phi = Epir^2$
Se consideri la superficie semisferica chiusa inferiormente dal cerchio corrispondente al raggio massimo, avrai una superficie chiusa e come ben sai Gauss afferma che il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa risulta direttamente proporzionale alla carica in essa contenuta.
Ne segue che essendo in questo caso la carica interna nulla e visto che il campo è uniforme e parallelo all'asse del sistema, tanto flusso entrerà dalla superficie inferiore, quanto ne uscirà da quella superiore e di conseguenza invece che calcolarci quello superiore possiamo calcolare quello inferiore, molto più semplice da determinare.
Ne segue che essendo in questo caso la carica interna nulla e visto che il campo è uniforme e parallelo all'asse del sistema, tanto flusso entrerà dalla superficie inferiore, quanto ne uscirà da quella superiore e di conseguenza invece che calcolarci quello superiore possiamo calcolare quello inferiore, molto più semplice da determinare.
mi torna tutto! grazie davvero, ora è chiaro.
Rilancio:
e se l'asse della semisfera forma un angolo di 63° con il campo elettrico?
Come prima, usando il teorema di Gauss, e considerando che una parte del flusso entra ed esce dalla superficie semisferica per via dell'inclinazione, ho chiuso la semisfera rimanente con un'ellisse, calcolato i semiassi e ottenuto il flusso. È corretto?
C'è un modo meno macchinoso?
Grazie
e se l'asse della semisfera forma un angolo di 63° con il campo elettrico?
Come prima, usando il teorema di Gauss, e considerando che una parte del flusso entra ed esce dalla superficie semisferica per via dell'inclinazione, ho chiuso la semisfera rimanente con un'ellisse, calcolato i semiassi e ottenuto il flusso. È corretto?
C'è un modo meno macchinoso?
Grazie
Non ho ben capito il tuo metodo, io chiuderei anche in questo caso con il cerchio alla base e andrei a calcolare il flusso attraverso lo stesso
$\phi=E \ \pi R^2 \cos (63°)$
$\phi=E \ \pi R^2 \cos (63°)$
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